Bài 6 trang 50 SGK Hình học 12
Đề bài
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Từ tâm \(O\) của hình vuông dựng đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\). Trên \(\Delta\) lấy điểm \(S\) sao cho \(OS ={a \over 2}\). Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\). Tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nhắc lại: Mặt cầu ngoại tiếp ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của chóp.
+) Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp:
Bước 1: Xác định trục d của mặt phẳng đáy (là đường thẳng đi qua "tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy" và "vuông góc với mp đáy").
Bước 2: Xác định \((P)\): mặt phẳng trung trực của một cạnh bên.
Bước 3: Xác định \(I = \left( P \right) \cap d\), khi đó \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
+) Bán kính \(R\) của mặt cầu: là khoảng cách từ tâm đến 1 đỉnh bất kì.
+) Diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {R^2}\)
+) Thể tích khối cầu \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\).
Lời giải chi tiết
* Xác định mặt cầu ngoại tiếp
+ \(\Delta \) là trục của mp đáy
Ta có \(ABCD\) là hình vuông nên \(O\) là tâm đường tròng ngoại tiếp hv \(ABCD\) .
Lại có: \(O \in \Delta ; \Delta \, \bot \, ABCD\)
\(\Rightarrow \Delta \) là trục của mp đáy
+ Xác định tâm \(I\)
Do \(\Delta\) là trục của hình vuông \(ABCD\), nên \(I\) thuộc \(\Delta\).
Ta có: \(ABCD\) là hình vuông cạnh a \( \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \Rightarrow OC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Mà \(SO = \displaystyle {a \over 2} < OC\) nên \(I\) thuộc phần kéo dài của tia \(SO\).
+ Tìm bán kính \(R\)
Ta có: \(SI = IC \Rightarrow \displaystyle {a \over 2} + OI = \sqrt {O{I^2} + O{C^2}} \)
\( \Rightarrow {\left( \displaystyle {{a \over 2} + OI} \right)^2} = O{I^2} +\displaystyle {{{a^2}} \over 2}\)
\( \Rightarrow O{I^2} + a.OI + \displaystyle {{{a^2}} \over 4} = O{I^2} + \displaystyle {{{a^2}} \over 2}\)
\( \Rightarrow OI = \displaystyle {a \over 4} \Rightarrow R = SI = SO + OI = \displaystyle {{3a} \over 4}\)
Vậy tâm \(I\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) thuộc tia \(SO\) mà \(SI = R =\) \(\displaystyle {{3a} \over 4}\) ; (\(R\) là bán kính hình cầu).
Khi đó diện tích mặt cầu là: \(S = 4\pi {R^2} = \displaystyle {9 \over 4}\pi {a^2}\) (đvdt)
Thể tích của khối cầu là: \(V = \displaystyle {4 \over 3}\pi {R^3} = \displaystyle {9 \over {16}}{\pi a^3}\) (đvdt)
Cách khác:
Gọi \(H\) là trung điểm cạnh \(SA\)
Trong mặt phẳng \((SAO)\), đường trung trực của đoạn \(SA\) cắt đường thẳng \(SO\) tại \(I\), ta có:
\(\Delta SAO\) đồng dạng với \(\Delta SIH\)
\( \Rightarrow \dfrac{{SA}}{{SO}} = \dfrac{{SI}}{{SH}} \Leftrightarrow SI = \dfrac{{SA.\,SH}}{{SO}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{2\,SO}}\)
Mà \(S{A^2} = S{O^2} + O{A^2}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Rightarrow S{A^2} = {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}}\\
{ \Rightarrow SA = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}
\end{array}\)
Khi đó: \(SI = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{4}}}{{2.\frac{a}{2}}} = \dfrac{{3a}}{4}\)
Lại có:
\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}
{IS = IA}\\
{IA = IB = IC = ID = \dfrac{{3a}}{4}}
\end{array}} \right\} \Rightarrow IS = \dfrac{{3a}}{4}\)
Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) có tâm là \(I\) và bán kính \(R = IS = \dfrac{{3a}}{4}\)
Diện tích mặt cầu là: \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\dfrac{{3a}}{4}} \right)^2} = \dfrac{{9\pi {a^2}}}{4}\)
Thể tích khối cầu là: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^2} = \dfrac{4}{3}\pi {\left( {\dfrac{{3a}}{4}} \right)^3} = \dfrac{{9\pi {a^2}}}{{16}}\)
Xemloigiai.com
Xem thêm Bài tập & Lời giải
Trong bài: Ôn tập chương II - Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Bài tập & Lời giải:
- 👉 Bài 1 trang 50 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 2 trang 50 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 3 trang 50 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 4 trang 50 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 5 trang 50 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 7 trang 50 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 1 trang 51 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 2 trang 51 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 3 trang 51 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 4 trang 51 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 5 trang 51 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 6 trang 52 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 7 trang 52 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 8 trang 52 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 9 trang 52 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 10 trang 52 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 11 trang 53 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 12 trang 53 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 13 trang 53 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 14 trang 53 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 15 trang 54 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 16 trang 54 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 17 trang 54 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 18 trang 54 SGK Hình học 12
Xem thêm lời giải SGK Toán lớp 12
GIẢI TÍCH 12
- 👉 CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
- 👉 CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
- 👉 CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
- 👉 CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC
- 👉 ÔN TẬP CUỐI NĂM - GIẢI TÍCH 12
HÌNH HỌC 12
- 👉 CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN
- 👉 CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
- 👉 CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
- 👉 ÔN TẬP CUỐI NĂM - HÌNH HỌC 12
Đề kiểm tra giữa kì 1
- 👉 Đề ôn tập giữa học kì 1 – Có đáp án và lời giải
- 👉 Đề thi giữa học kì 1 của các trường có lời giải – Mới nhất
Đề thi học kì 1 mới nhất có lời giải
Đề kiểm tra giữa kì 2
- 👉 Đề ôn tập giữa kì 2- Có đáp án và lời giải chi tiết
- 👉 Đề thi giữa học kì 2 của các trường có lời giải – Mới nhất
Đề thi học kì 2 mới nhất có lời giải
Xem Thêm
Lớp 12 | Các môn học Lớp 12 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 12 chọn lọc
Danh sách các môn học Lớp 12 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.
Toán Học
- Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 12
- SBT Toán lớp 12 Nâng cao
- SBT Toán 12 Nâng cao
- SGK Toán 12 Nâng cao
- SBT Toán lớp 12
- SGK Toán lớp 12
Vật Lý
- SBT Vật lí 12 Nâng cao
- SGK Vật lí lớp 12 Nâng cao
- SBT Vật lí lớp 12
- SGK Vật lí lớp 12
- Giải môn Vật lí lớp 12
Hóa Học
- Đề thi, đề kiểm tra Hóa lớp 12
- SBT Hóa học 12 Nâng cao
- SGK Hóa học lớp 12 Nâng cao
- SBT Hóa lớp 12
- SGK Hóa lớp 12
Ngữ Văn
- Đề thi, đề kiểm tra Ngữ Văn 12 mới
- Soạn văn 12
- SBT Ngữ văn lớp 12
- Luyện dạng đọc hiểu
- Văn mẫu 12
- Soạn văn 12 chi tiết
- Soạn văn ngắn gọn lớp 12
- Soạn văn 12 siêu ngắn
- Bài soạn văn lớp 12 siêu ngắn
- Bài soạn văn 12
Lịch Sử
Địa Lý
Sinh Học
- Đề thi, đề kiểm tra Sinh lớp 12
- SGK Sinh lớp 12 Nâng cao
- SBT Sinh lớp 12
- SGK Sinh lớp 12
- Giải môn Sinh học lớp 12
GDCD
Tin Học
Tiếng Anh
- Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Anh 12 mới
- SBT Tiếng Anh lớp 12
- Ngữ pháp Tiếng Anh
- SGK Tiếng Anh 12
- SBT Tiếng Anh lớp 12 mới
- SGK Tiếng Anh 12 Mới