Bài 7 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao
Bài làm:
LG a
Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng \(a\) và chiều cao bằng \(h\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(H\) là tâm của tam giác đều \(ABC\).
\(SH\) là đường cao của hình chóp đều \(S.ABC\) nên \(SH\) là trục của tam giác \(ABC\).
Trong mặt phẳng \((SAH)\) gọi \(O\) là giao điểm của đường trung trực \(SA\) với \(SH\) thì \(O\) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính của mặt cầu là \(R = SO\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(SA\) thì tứ giác \(AHOI\) nội tiếp nên:
\(SO.SH = SI.SA\) \( \Rightarrow SO = {{S{A^2}} \over {2SH}} = {{S{A^2}} \over {2h}}\)
Mà \(S{A^2} = S{H^2} + A{H^2} \) \( = {h^2} + {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} = {{{a^2} + 3{h^2}} \over 3}\)
Từ đó suy ra \(R = SO = {{{a^2} + 3{h^2}} \over {6h}}\)
Vậy thể tích khối cầu cần tìm là \(V = {{\pi {{\left( {{a^2} + 3{h^2}} \right)}^3}} \over {162{h^3}}}\)
LG b
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh cùng bằng \(a\). Gọi \(A’, B’, C’, D’\) lần lượt là trung điểm của \(SA, SB, SC, SD\). Chứng minh rằng các điểm \(A, B, C, D, A’, B’, C’, D’\) cùng thuộc một mặt cầu và tính thể tích khối cầu đó.
Lời giải chi tiết:
Gọi \(SH\) là đường cao của hình chóp đều \(S.ABCD\) thì \(H\) là tâm của hình vuông \(ABCD\) và \(SH\) đi qua tâm \(H’\) của hình vuông \(A’B’C’D’\).
Mọi điểm nằm trên \(SH\) đều cách đều bốn điểm \(A’, B’, C’, D’\).
Trên đường thẳng \(SH\), ta xác định điểm \(O\) sao cho \(OA = OA’\) thì \(O\) cách đều tám điểm \(A, B, C, D, A’, B’, C’, D’\) tức là tám điểm đó nằm trên mặt cầu tâm \(O\), bán kính \(R = OA\).
Điểm \(O\) là giao điểm của đường thẳng \(SH\) và mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AA’\).
Ta có: \(2{a^2} = A{C^2} = S{A^2} + S{C^2}\) nên tam giác vuông cân tại S suy ra \(\widehat {ASO} = {45^0}\) do đó ASIO vuông cân tại I và \(IS = IO = {{3a} \over 4}\).
Từ đó suy ra \(R = OA = \sqrt {O{I^2} + I{A^2}} \) \( = \sqrt {{{9{a^2}} \over {16}} + {{{a^2}} \over {16}}} = {{a\sqrt {10} } \over 4}\)
Vậy thể tích khối cầu cần tìm là: \(V = {4 \over 3}\pi {\left( {{{a\sqrt {10} } \over 4}} \right)^3} = {{5\pi {a^3}\sqrt {10} } \over {24}}\)
Xemloigiai.com
Xem thêm Bài tập & Lời giải
Trong bài: Bài 1. Mặt cầu, khối cầu
Bài tập & Lời giải:
- 👉 Bài 1 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao
- 👉 Bài 2 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao
- 👉 Bài 3 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao
- 👉 Bài 4 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao
- 👉 Bài 5 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao
- 👉 Bài 6 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao
- 👉 Bài 8 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao
- 👉 Bài 9 trang 46 SGK Hình học 12 Nâng cao
- 👉 Bài 10 trang 46 SGK Hình học 12 Nâng cao
Xem thêm lời giải SGK Toán 12 Nâng cao
Lớp 12 | Các môn học Lớp 12 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 12 chọn lọc
Danh sách các môn học Lớp 12 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.
Toán Học
- Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 12
- SBT Toán lớp 12 Nâng cao
- SBT Toán 12 Nâng cao
- SGK Toán 12 Nâng cao
- SBT Toán lớp 12
- SGK Toán lớp 12
Vật Lý
- SBT Vật lí 12 Nâng cao
- SGK Vật lí lớp 12 Nâng cao
- SBT Vật lí lớp 12
- SGK Vật lí lớp 12
- Giải môn Vật lí lớp 12
Hóa Học
- Đề thi, đề kiểm tra Hóa lớp 12
- SBT Hóa học 12 Nâng cao
- SGK Hóa học lớp 12 Nâng cao
- SBT Hóa lớp 12
- SGK Hóa lớp 12
Ngữ Văn
- Đề thi, đề kiểm tra Ngữ Văn 12 mới
- Soạn văn 12
- SBT Ngữ văn lớp 12
- Luyện dạng đọc hiểu
- Văn mẫu 12
- Soạn văn 12 chi tiết
- Soạn văn ngắn gọn lớp 12
- Soạn văn 12 siêu ngắn
- Bài soạn văn lớp 12 siêu ngắn
- Bài soạn văn 12
Lịch Sử
Địa Lý
Sinh Học
- Đề thi, đề kiểm tra Sinh lớp 12
- SGK Sinh lớp 12 Nâng cao
- SBT Sinh lớp 12
- SGK Sinh lớp 12
- Giải môn Sinh học lớp 12
GDCD
Tin Học
Tiếng Anh
- Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Anh 12 mới
- SBT Tiếng Anh lớp 12
- Ngữ pháp Tiếng Anh
- SGK Tiếng Anh 12
- SBT Tiếng Anh lớp 12 mới
- SGK Tiếng Anh 12 Mới