Bài 9 trang 100 SGK Hình học 12
Bài làm:
Trong không gian \(Oxyz\) cho bốn điểm \(A(2 ; 4 ; -1), B(1 ; 4 ; -1),\) \( C(2 ; 4; 3), D(2 ; 2 ; -1)\).
LG a
Chứng minh rằng các đường thẳng \(AB, AC, AD\) vuông góc với nhau từng đôi một. Tính thể tích khối tứ diện \(ABCD\).
Phương pháp giải:
Ta xét các tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \); \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \); \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \)
\( \Rightarrow {V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}AB.AC.AD\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta xét các tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \); \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \); \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (-1; 0; 0)\), \(\overrightarrow {AC} = (0; 0; 4)\), \(\overrightarrow {AD} = (0; -2; 0)\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = (-1).0 + 0.0 + 0.4 = 0\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \)
Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự.
Ta có: \(V_{ABCD}\) =\({1 \over 6}.AB.AC.AD\)
Mà \(AB = 1; AC = 4; AD = 2\)
\( \Rightarrow {V_{ABCD}} = {1 \over 6}.1.4.2 = {4 \over 3}\)(đvtt)
LG b
Viết phương trình mặt cầu \((S)\) đi qua bốn điểm \(A, B, C, D\).
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, xác định tâm I và tính bán kính \(R=IA\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(I(a; b; c)\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).
\(IA = IB = IC\) \( \Rightarrow I\) nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ACD\). Tam giác \(ACD\) vuông tại đỉnh \(A\) nên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ACD\) là đường thẳng vuông góc với mp \((ACD)\) và đi qua trung điểm \(M\) của cạnh huyền \(CD\).
Như vậy \(MI // AB\) (1)
Ta lại có \(IA = IB\). Gọi \(P\) là trung điểm của \(AB\), ta có:
\(MI = AP\) = \({1 \over 2}AB\) (2)
Từ (1) và (2), suy ra \(\overrightarrow {MI} = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} \)
Với \(C (2; 4; 3), D (2; 2; -1)\) \( \Rightarrow M (2; 3; 1)\)
\(\overrightarrow {MI}= (a - 2; b - 3; c - 1); \overrightarrow {AB} = (-1; 0; 0) \)
\(\left\{ \matrix{
a - 2 = {1 \over 2}( - 1) \Rightarrow a = {3 \over 2} \hfill \cr
b - 3 = {1 \over 2}.0 \Rightarrow b = 3 \hfill \cr
c - 1 = {1 \over 2}.0 \Rightarrow c = 1 \hfill \cr} \right.\)
Tâm \(I\) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) là \(I\)\(\left( {{3 \over 2};3;1} \right)\)
Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) là \(r\) thì:
\(r^2 = IA^2\) =\({\left( {2 - {3 \over 2}} \right)^2} + {(4 - 3)^2} + {( - 1 - 1)^2} = {{21} \over 4}\)
Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\):
\({\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 1)^2} = {{21} \over 4}\).
Cách khác:
Gọi mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) đi qua 4 điểm A, B, C, D.
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}4 + 16 + 1 + 4a + 8b - 2c + d = 0\\1 + 16 + 1 + 2a + 8b - 2c + d = 0\\4 + 16 + 9 + 4a + 8b + 6c + d = 0\\4 + 4 + 1 + 4a + 4b - 2c + d = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + 8b - 2c + d = - 21\\2a + 8b - 2c + d = - 18\\4a + 8b + 6c + d = - 29\\4a + 4b - 2c + d = - 9\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = - 3\\8b - 2c + d = - 15\\8b + 6c + d = - 23\\4b - 2c + d = - 3\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{3}{2}\\b = - 3\\c = - 1\\d = 7\end{array} \right.\)
Vậy phương trình mặt cầu là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 3x - 6y - 2z + 7 = 0\) hay \({\left( {x - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \dfrac{{21}}{4}\)
LG b
Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\) và song song với mặt phẳng \((ABD)\).
Phương pháp giải:
Xác định VTPT của mặt phẳng \(\alpha\), viết phương trình mặt phẳng \(\alpha\) khi biết VTPT.
\(\alpha\) tiếp xúc với (S) \( \Leftrightarrow d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right) = R\) với \(I;R\) lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu (S).
Lời giải chi tiết:
Ta có:\(\displaystyle AC ⊥ (ABD)\); \(\displaystyle (α)\)//\(\displaystyle (ABD)\) nên nhận \(\displaystyle \overrightarrow {AC} \) làm vectơ pháp tuyến.
Ta có \(\displaystyle \overrightarrow {AC} = (0; 0; 4)\) nên \(\displaystyle (α)\):\(\displaystyle z + D = 0\).
Khoảng cách từ tâm \(\displaystyle I\) của mặt cầu đến mặt phẳng \(\displaystyle (α)\) là:
\(\displaystyle d(I,(α)) ={{\left| {1 + D} \right|} \over 1} = \left| {1 + D} \right|\)
Để mặt phẳng \(\displaystyle (α)\) tiếp xúc với mặt cầu, ta cần có:
\(\displaystyle d(I,(α)) = r \Rightarrow \left| {1 + D} \right| = {{\sqrt {21} } \over 2}\)
Ta có hai mặt phẳng:
TH1: \(\displaystyle 1 + D ={{\sqrt {21} } \over 2} \Rightarrow D = {{\sqrt {21} } \over 2} - 1\)
\(\displaystyle \Rightarrow \left( {{\alpha _1}} \right):z + {{\sqrt {21} } \over 2} - 1 = 0\)
TH2: \(\displaystyle 1 + D = - {{\sqrt {21} } \over 2} \Rightarrow D = - {{\sqrt {21} } \over 2} - 1 \)
\(\displaystyle \Rightarrow \left( {{\alpha _2}} \right):z - {{\sqrt {21} } \over 2} - 1 = 0\)
Xemloigiai.com
Xem thêm Bài tập & Lời giải
Trong bài: ÔN TẬP CUỐI NĂM - HÌNH HỌC 12
Bài tập & Lời giải:
- 👉 Bài 1 trang 99 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 2 trang 99 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 3 trang 99 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 4 trang 99 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 5 trang 99 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 6 trang 100 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 7 trang 100 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 8 trang 100 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 10 trang 100 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 11 trang 101 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 12 trang 101 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 13 trang 101 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 14 trang 101 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 15 trang 101 SGK Hình học 12
- 👉 Bài 16 trang 102 SGK Hình học 12
Xem thêm lời giải SGK Toán lớp 12
GIẢI TÍCH 12
- 👉 CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
- 👉 CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
- 👉 CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
- 👉 CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC
- 👉 ÔN TẬP CUỐI NĂM - GIẢI TÍCH 12
HÌNH HỌC 12
- 👉 CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN
- 👉 CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
- 👉 CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
- 👉 ÔN TẬP CUỐI NĂM - HÌNH HỌC 12
Đề kiểm tra giữa kì 1
- 👉 Đề ôn tập giữa học kì 1 – Có đáp án và lời giải
- 👉 Đề thi giữa học kì 1 của các trường có lời giải – Mới nhất
Đề thi học kì 1 mới nhất có lời giải
Đề kiểm tra giữa kì 2
- 👉 Đề ôn tập giữa kì 2- Có đáp án và lời giải chi tiết
- 👉 Đề thi giữa học kì 2 của các trường có lời giải – Mới nhất
Đề thi học kì 2 mới nhất có lời giải
Xem Thêm
Lớp 12 | Các môn học Lớp 12 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 12 chọn lọc
Danh sách các môn học Lớp 12 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.
Toán Học
- Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 12
- SBT Toán lớp 12 Nâng cao
- SBT Toán 12 Nâng cao
- SGK Toán 12 Nâng cao
- SBT Toán lớp 12
- SGK Toán lớp 12
Vật Lý
- SBT Vật lí 12 Nâng cao
- SGK Vật lí lớp 12 Nâng cao
- SBT Vật lí lớp 12
- SGK Vật lí lớp 12
- Giải môn Vật lí lớp 12
Hóa Học
- Đề thi, đề kiểm tra Hóa lớp 12
- SBT Hóa học 12 Nâng cao
- SGK Hóa học lớp 12 Nâng cao
- SBT Hóa lớp 12
- SGK Hóa lớp 12
Ngữ Văn
- Đề thi, đề kiểm tra Ngữ Văn 12 mới
- Soạn văn 12
- SBT Ngữ văn lớp 12
- Luyện dạng đọc hiểu
- Văn mẫu 12
- Soạn văn 12 chi tiết
- Soạn văn ngắn gọn lớp 12
- Soạn văn 12 siêu ngắn
- Bài soạn văn lớp 12 siêu ngắn
- Bài soạn văn 12
Lịch Sử
Địa Lý
Sinh Học
- Đề thi, đề kiểm tra Sinh lớp 12
- SGK Sinh lớp 12 Nâng cao
- SBT Sinh lớp 12
- SGK Sinh lớp 12
- Giải môn Sinh học lớp 12
GDCD
Tin Học
Tiếng Anh
- Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Anh 12 mới
- SBT Tiếng Anh lớp 12
- Ngữ pháp Tiếng Anh
- SGK Tiếng Anh 12
- SBT Tiếng Anh lớp 12 mới
- SGK Tiếng Anh 12 Mới