Bài 92 trang 140 Sách bài tập hình học lớp 12 nâng cao

Bài làm:

Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng :

                     \(\Delta :\left\{ \matrix{  x = 3 + t \hfill \cr  y =  - 1 + 2t \hfill \cr  z = 4 \hfill \cr}  \right.\)

Gọi \(\Delta '\) là giao tuyến của 2 mặt phẳng:

\((\alpha ):x - 3y + z = 0\) và \((\alpha '):x + y - z + 4 = 0\)

và điểm M₀ (1; 1; 2).

a) Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng \(\Delta\) và \(\Delta '\) .

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa \(\Delta '\) song song với \(\Delta \) .

c) Viết phương trình mặt phẳng qua M₀ và vuông góc với \(\Delta \) .

d) Viết phương trình đường thẳng qua M₀, cắt cả \(\Delta\) và \(\Delta '\) .

e) Tính khoảng cách giữa \(\Delta\) và \(\Delta '\) .

f) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của \(\Delta\) và \(\Delta '\) .

Giải

a) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({N_o}\left( {3{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}4} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}0} \right).\)

Đường thẳng \(\Delta '\) đi qua \(N_o'( - 2;{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }}2)\) và có vectơ chỉ phương

\(\overrightarrow {u'}  = \left( {\left| {\matrix{   { - 3} & 1  \cr   1 & { - 1}  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   1 & 1  \cr   { - 1} & 1  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   1 & { - 3}  \cr   1 & 1  \cr  } } \right|} \right) = {\rm{ }}\left( {2{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}4} \right)\)

Ta có \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = {\rm{ }}\left( {8{\rm{ }};{\rm{ }} - 4{\rm{ }};{\rm{ }} - 2} \right),\overrightarrow {{N_o}N_o'}  = {\rm{ }}\left( { - 5{\rm{ }};{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }} - 2} \right),\) suy ra

\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {{N_o}N_o'}  = {\rm{ }}8\left( { - 5} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}\left( { - 4} \right).{\rm{ }}1{\rm{ }} - {\rm{ }}2\left( { - 2} \right){\rm{ }}\)

                              \(= {\rm{ }} - 40{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0.\)

Vậy \(\Delta \) và \(\Delta \)' chéo nhau.

b) Gọi (P) là mặt phẳng chứa \(\Delta \)' và song song với \(\Delta \), khi đó (P) đi qua điểm \(N_o'\left( { - 2;0;2} \right) \in \Delta '\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}}  = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {4; - 2; - 1} \right).\)

Vậy phương trình mp(P) là :

\(4\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} - 2(y - {\rm{ }}0){\rm{ }} - {\rm{ 1}}\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\) hay \(4x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} - z{\rm{ }} + {\rm{ }}10{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

c) Gọi d  là mặt phẳng qua \({M_o}\left( {{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right)\) và vuông góc với \(\Delta \). Khi đó, (Q) nhận vectơ \(\overrightarrow u  = {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến. Vậy (Q) có phương trình :

\(1{\rm{ }}\left( {x - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}2\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\) hay \(x + {\rm{ }}2y{\rm{ }} - {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

d) Gọi d là đường thẳng qua M_o, cắt cả \(\Delta \) và \(\Delta \)'. Khi đó, d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \beta  \right) = {\rm{ }}({M_o},\Delta )\) và \(\left( {\beta '} \right) = {\rm{ }}({M_o},\Delta ')\)

Mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) đi qua \({M_o}\left( {1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2} \right)\)  và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left[ {\overrightarrow {{M_o}{N_o}} ,\overrightarrow u } \right].\)

Ta có \(\overrightarrow {{M_o}{N_o}}  = {\rm{ }}\left( {2{\rm{ }};{\rm{ }} - 2{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right),\overrightarrow u  = {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right),\) suy ra

\(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left( {\left| {\matrix{   { - 2} & 2  \cr   2 & 0  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   2 & 2  \cr   0 & 1  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   2 & { - 2}  \cr   1 & 2  \cr  } } \right|} \right) = {\rm{ }}\left( { - 4{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}6} \right).\)

Vậy phương trình mp(\(\beta \)) là :

\( - 4(x - 1) + {\rm{ }}2\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}6\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\) hay \( - 2x + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} - {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

Mặt phẳng (\(\beta \)) đi qua \({M_o}\left( {1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{\beta '}}}  = \left[ {\overrightarrow {{M_o}N_o'} ,\overrightarrow {u'} } \right].\)

Ta có \(\overrightarrow {{M_o}N_o'}  = {\rm{ }}\left( { - 3{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right),\overrightarrow {u'} {\rm{ }} = {\rm{ }}(2;{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}4),\) suy ra

\(\left[ {\overrightarrow {{M_o}N_o'} ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {\left| {\matrix{   { - 1} & 0  \cr   2 & 4  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   0 & { - 3}  \cr   4 & 2  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   { - 3} & { - 1}  \cr   2 & 2  \cr  } } \right|} \right) \)

                       \(= \left( { - 4;12; - 4} \right).\)

Ta chọn một vectơ pháp tuyến khác của (\(\beta '\)) là (1 ; -3 ; 1), từ đó (\(\beta '\)) có phương trình là :

\(1.(x - {\rm{ }}1){\rm{ }} - {\rm{ }}3\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right) + 1\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right) = 0\) hay \(x - {\rm{ }}3y + z = 0.\)

Dễ thấy rằng đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \( - 2x + {\rm{ }}y{\rm{ }} + 3z - 5 = {\rm{ }}0\) và \(x{\rm{ }} - {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) thoả mãn bài toán. Do đó, phương trình tham số của d là

     \(\left\{ \matrix{  x = {\rm{ }} - 3{\rm{ }} + {\rm{ }}2t \hfill \cr  \;y = {\rm{ }} - 1{\rm{ }} + t \hfill \cr  {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}t. \hfill \cr}  \right.\)

Dễ thấy d cắt cả \(\Delta \) và \(\Delta \)'.

e) \(d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {{N_o}N_o'} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}} = {{20} \over {\sqrt {21} }}.\)          

g) Gọi đường vuông góc chung của \(\Delta \) và \(\Delta \)' là \(\delta \). Khi đó, vectơ chỉ phương của \(\delta \) là \(\overrightarrow {{u_\delta }}  = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {4; - 2; - 1} \right).\)

Gọi (\({\beta _1}\)) là mp\(\left( {\Delta ,\delta } \right)\) thì (\({\beta _1}\)) đi qua N_o và có vectơ pháp tuyến

\(\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{u_\delta }} } \right] = \left( { - 2;1; - 10} \right).\)

Vậy phương trình của (\({\beta _1}\)) là

\( - 2(x - {\rm{ }}3){\rm{ }} + {\rm{ }}1\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} - 10\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}4} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\) hay \(2x{\rm{ }} - {\rm{ }}y{\rm{ }} + 10z{\rm{ }} - {\rm{ }}47{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

Gọi (\({\beta _2}\)) là mp\(\left( {\Delta ',\delta } \right)\) thì (\({\beta _2}\)) đi qua \(N_o'\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}}  = \;\left[ {\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow {{u_\delta }} } \right]\; = {\rm{ }}\left( {6;{\rm{ }}18;{\rm{ }} - {\rm{ }}12} \right).\)

Vậy (\({\beta _2}\)) có phương trình là

(\({\beta _2}\)) : \(x + {\rm{ }}3y{\rm{ }} - {\rm{ }}2z{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

Do đó, đường vuông góc chung \(\delta \) của \(\Delta \) và \(\Delta \)' là giao tuyến của hai mặt phẳng \(:2x - {\rm{ }}y + 10z - {\rm{ }}47 = {\rm{ }}0\) và \(x{\rm{ }} + 3y - 2z + 6 = {\rm{ }}0.\)

Phương trình tham số của \(\delta \) là \(\left\{ \matrix{  x = {{23} \over 7} - 4t \hfill \cr  y =  - {3 \over 7} + 2t \hfill \cr  z{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }} + t. \hfill \cr}  \right.\)

Xemloigiai.com