Các dạng toán về ứng dụng của tích phân trong hình học
Lý thuyết:
1. Ứng dụng của tích phân trong hình học (diện tích hình phẳng)
Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng nếu biết hai đường giới hạn
Phương pháp:
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\) được tính bởi công thức:
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\)được tính bởi công thức:
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)
Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng nếu chưa biết hai đường giới hạn
Phương pháp:
- Bước 1: Giải phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) tìm nghiệm.
- Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức \(\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|\)
- Bước 3: Tính diện tích hình phẳng theo công thức tích phân:
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ và các trục tọa độ. Chọn kết quả đúng nhất.
A. $3\ln 6$
B. \(3\ln \dfrac{3}{2}\)
C. \(3\ln \dfrac{3}{2} - 2\)
D.\(3\ln \dfrac{3}{2} - 1\)
Giải:
Đồ thị hàm số cắt $Ox$ tại $\left( {-1;0} \right)$, cắt $Oy$ tại $\left( {0; - \dfrac{1}{2}} \right)$.
Hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ có \(y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\) nên hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ nghịch biến trên $\left( {-1;0} \right)$.
Do đó \(y < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\)
Do đó $S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {\dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right|} dx = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( { - \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right)} dx = - \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {1 + \dfrac{3}{{x - 2}}} \right)} dx $
$= - \left( {x + 3\ln \left| {x - 2} \right|\mathop |\nolimits_{ - 1}^0 } \right) = - 3\ln 2 - 1 + 3\ln 3 = 3\ln \dfrac{3}{2} - 1$
Chọn D.
2. Ứng dụng của tích phân trong hình học (thể tích vật thể)
Dạng 1: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\) quanh trục \(Ox\)
Công thức tính:
\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)
Dạng 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x = f\left( y \right)\), trục \(Oy\) và hai đường thẳng \(y = a,y = b\left( {a < b} \right)\) quanh trục \(Oy\).
Công thức tính:
\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( y \right)dy} \)
Dạng 3: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right],0 \le f\left( x \right) \le g\left( x \right),\forall x \in \left[ {a;b} \right]\) quay quanh trục \(Ox\)
Công thức tính:
\(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{g^2}\left( x \right) - {f^2}\left( x \right)} \right]dx} \)
Dạng 4 ( Đọc thêm ): Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng \(x = a,x = b\) biết diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc trục $Ox$ là \(S = S\left( x \right)\).
Công thức tính:
\(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} \)
Khi miền \(D\) giới hạn bởi nhiều đồ thị hàm số thì ta nên vẽ hình, sau đó từ hình vẽ suy ra cách tính.
Ví dụ: Cho đường cong \(y = - {x^2} + 1\) và đường thẳng \(y = 0\). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường trên quanh \(Ox\).
Ta có: \( - {x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\)
Thể tích: \(V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( { - {x^2} + 1} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^4} - 2{x^2} + 1} \right)dx} \)
$= \pi \left. {\left( {\dfrac{{{x^5}}}{5} - \dfrac{{2{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \dfrac{{16\pi }}{{15}}$.
Xem thêm Bài tập & Lời giải
Trong bài: Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học.
Bài tập & Lời giải:
- 👉 Trả lời câu hỏi 1 trang 114 SGK Giải tích 12
- 👉 Trả lời câu hỏi 2 trang 117 SGK Giải tích 12
- 👉 Trả lời câu hỏi 3 trang 119 SGK Giải tích 12
- 👉 Giải bài 1 trang 121 SGK Giải tích 12
- 👉 Giải bài 2 trang 121 SGK Giải tích 12
- 👉 Giải bài 3 trang 121 SGK Giải tích 12
- 👉 Giải bài 4 trang 121 SGK Giải tích 12
- 👉 Giải bài 5 trang 121 SGK Giải tích 12
Lý thuyết:
Xem thêm lời giải SGK Toán lớp 12
GIẢI TÍCH 12
- 👉 CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
- 👉 CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
- 👉 CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
- 👉 CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC
- 👉 ÔN TẬP CUỐI NĂM - GIẢI TÍCH 12
HÌNH HỌC 12
- 👉 CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN
- 👉 CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
- 👉 CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
- 👉 ÔN TẬP CUỐI NĂM - HÌNH HỌC 12
Đề kiểm tra giữa kì 1
- 👉 Đề ôn tập giữa học kì 1 – Có đáp án và lời giải
- 👉 Đề thi giữa học kì 1 của các trường có lời giải – Mới nhất
Đề thi học kì 1 mới nhất có lời giải
Đề kiểm tra giữa kì 2
- 👉 Đề ôn tập giữa kì 2- Có đáp án và lời giải chi tiết
- 👉 Đề thi giữa học kì 2 của các trường có lời giải – Mới nhất
Đề thi học kì 2 mới nhất có lời giải
Xem Thêm
Lớp 12 | Các môn học Lớp 12 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 12 chọn lọc
Danh sách các môn học Lớp 12 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.
Toán Học
- Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 12
- SBT Toán lớp 12 Nâng cao
- SBT Toán 12 Nâng cao
- SGK Toán 12 Nâng cao
- SBT Toán lớp 12
- SGK Toán lớp 12
Vật Lý
- SBT Vật lí 12 Nâng cao
- SGK Vật lí lớp 12 Nâng cao
- SBT Vật lí lớp 12
- SGK Vật lí lớp 12
- Giải môn Vật lí lớp 12
Hóa Học
- Đề thi, đề kiểm tra Hóa lớp 12
- SBT Hóa học 12 Nâng cao
- SGK Hóa học lớp 12 Nâng cao
- SBT Hóa lớp 12
- SGK Hóa lớp 12
Ngữ Văn
- Đề thi, đề kiểm tra Ngữ Văn 12 mới
- Soạn văn 12
- SBT Ngữ văn lớp 12
- Luyện dạng đọc hiểu
- Văn mẫu 12
- Soạn văn 12 chi tiết
- Soạn văn ngắn gọn lớp 12
- Soạn văn 12 siêu ngắn
- Bài soạn văn lớp 12 siêu ngắn
- Bài soạn văn 12
Lịch Sử
Địa Lý
Sinh Học
- Đề thi, đề kiểm tra Sinh lớp 12
- SGK Sinh lớp 12 Nâng cao
- SBT Sinh lớp 12
- SGK Sinh lớp 12
- Giải môn Sinh học lớp 12
GDCD
Tin Học
Tiếng Anh
- Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Anh 12 mới
- SBT Tiếng Anh lớp 12
- Ngữ pháp Tiếng Anh
- SGK Tiếng Anh 12
- SBT Tiếng Anh lớp 12 mới
- SGK Tiếng Anh 12 Mới