Câu 1.26 trang 14 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Bài làm:

Cắt bỏ hình quạt AOB (hình phẳng có nét gạch trong hình 1.3) từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của một hình quạt còn lại với nhau để được một cái phễu có dạng một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của hình quạt tròn dùng làm phễu (h.1.3), \(0 < x < 2\pi \)

a) Hãy biểu diễn hán kính r của hình tròn đáy và đường cao h của hình nón theo R và x.

b) Tính thể tích hình nón theo R và x.

c) Tìm x để hình nón có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.

Giải

a) Vì độ dài của đường tròn đáy hình nón bằng độ dài \(\overparen{AB}\) của quạt tròn dùng làm phễu, nên ta có

                    \(2\pi r = Rx\)

Do đó

                     \(r = {{Rx} \over {2\pi }}\)

và \(h = \sqrt {{R^2} - {r^2}}  = \sqrt {{R^2} - {{{R^2}{x^2}} \over {4{\pi ^2}}}}  = {R \over {2\pi }}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} \)

b) Thể tích hình nón là

                                \(V = {1 \over 3}\pi {r^2}h = {{{R^3}} \over {24{\pi ^2}}}{x^2}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} ,0 < x < 2\pi \)

c) Ta tìm \(x \in \left( {0;2\pi } \right)\) sao cho tại đó V đạt giá trị lớn nhất

                                \(V' = {{{R^3}} \over {24{\pi ^2}}}.{{x\left( {8{\pi ^2} - 3{x^2}} \right)} \over {\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} }}\)

Với \(0 < x < 2\pi \), ta có

\(V' = 0 \Leftrightarrow 8{\pi ^2} - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = {{2\sqrt 6 } \over 3}\pi \approx 1,63\pi \)

Hình nón có thể tích lớn nhất khi \(x = {{2\sqrt 6\pi } \over 3} \approx 1,63\pi \)

\(\mathop {\max }\limits_{x \in \left( {0;2\pi } \right)} V = V({{2\sqrt 6 \pi} \over 3}) = {{2\sqrt 3 } \over {27}}\pi {R^3}\)

Xemloigiai.com