Câu 38 trang 68 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rẳng tổng bình phương tất cả các đường chéo của một hình hộp bằng tổng bình phương tất cả các cạnh của hình hộp đó

Lời giải chi tiết

Đặt AB = a, BC = b, AA’ = c ( đó là 3 kích thước của hình hộp).

Trong hình bình hành ABC’D’ ta có:

\(AC'{^2} + BD{'^2} = 2\left( {{a^2} + BC'{^2}} \right)\)  (1)

Trong hình bình hành A’B’CD ta có:

\(A'{C^2} + B'{D^2} = 2\left( {{a^2} + B'{C^2}} \right)\)  (2)

Cộng (1) và (2) ta được :

\(AC'{^2} + BD'{^2}+A'{C^2} + B'{D^2} \)\(= 2\left( {2{a^2} + BC{'^2} + B'{C^2}} \right)\) (3)

Mặt khác trong hình bình hành BB’C’C ta có:

\(BC{'^2} + B'{C^2} = 2\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\)  (4)

Thay (4) vào (3) ta được :

\(AC'{^2} + BD'{^2} + A'{C^2} + B\,'{D^2}\)\( = 4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)  (đpcm).

Xemloigiai.com