Câu 80 trang 129 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Bài làm:
Cho hình chóp đều S.ABCD cạnh đáy bằng a.
a) Tính góc tạo bởi mặt phẳng chứa mặt bên và mặt đáy. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng chứa hai mặt bên liên tiếp nếu chiều cao hình chóp bằng a.
b) Xét mặt phẳng (P) đi qua điểm A, song song với CD và vuông góc với mp(SCD), chia tam giác SCD thành hai phần với tỉ số diện tích bằng \({1 \over 8}\) (phần thứ nhất chứa đỉnh). Tính diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bời mặt phẳng (P).
Trả lời
a) ● Gọi E là trung điểm của AB và H là tâm của hình vuông ABCD. Khi ấy SHE là tam giác vuông tại H và \(AB \bot \left( {SHE} \right)\). Vậy góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng đáy (ABCD) là \(\widehat {SEH}\).
Đặt \(\widehat {SEH} = \alpha \) thì \(\tan \alpha = {{2h} \over a}\left( {SH = h} \right)\).
Tương tự như trên ta có góc giữa các mặt phẳng chứa mỗi mặt bên còn lại của hình chóp với mặt phẳng đáy (ABCD) cũng bằng α và \(\tan \alpha = {{2h} \over a}\).
● Khi h = a thì góc tạo bởi mỗi mặt phẳng chứa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng α và tanα = 2.
Kẻ \(H{C_2} \bot SC\) thì ta có \(mp\left( {B{C_2}D} \right) \bot SC\).
Vậy góc giữa mp(SBC) và mp(SDC) bằng \(\widehat {B{C_2}D}\) hoặc \({180^0} - \widehat {B{C_2}D}\).
Ta tính \(\widehat {B{C_2}D}\)
Dễ thấy
\(\eqalign{ & H{C_2} = {{HC.H{\rm{S}}} \over {SC}} \cr & = {{{{a\sqrt 2 } \over 2}.{\rm{a}}} \over {\sqrt {{{2{{\rm{a}}^2}} \over 4} + {a^2}} }} = {{a\sqrt 2 } \over {\sqrt 6 }} = {a \over {\sqrt 3 }} \cr} \)
Từ đó
\(\eqalign{ & BC_2^2 = H{B^2} + HC_2^2 \cr & = {{{a^2}} \over 2} + {{{a^2}} \over 3} = {{5{{\rm{a}}^2}} \over 6} \cr} \)
Đặt \(\beta = \widehat {B{C_2}D}\) thì
\(\eqalign{ & B{{\rm{D}}^2} = BC_2^2 + DC_2^2 - 2B{C_2}.D{C_2}\cos \beta \cr & \Leftrightarrow 2{a^2} = {{5{a^2}} \over 6} + {{5{a^2}} \over 6} - 2.{{5{a^2}} \over 6}\cos \beta \cr & = 2.{{5{a^2}} \over 6}\left( {1 - \cos \beta } \right) \cr & \Leftrightarrow 1 = {5 \over 6}\left( {1 - \cos \beta } \right) \Rightarrow \cos \beta = 1 - {6 \over 5} = - {1 \over 5} \cr} \)
Vậy góc giữa mp(SBC) và mp(SCD) là \({180^0} - \beta \) mà \(\cos \beta = - {1 \over 5}\).
Tương tự như trên, ta có góc giữa hai mặt chứa hai bên mặt bên liên tiếp cũng được xác định bởi β mà \(\cos \beta = - {1 \over 5}\) .
b) Vì (P) đi qua A và song song với CD nên (P) chứa cạnh AB. Do (P) vuông góc với (SCD) nên (P) chứa EF1 vuông góc với mặt phẳng (SCD). Dễ thấy F1 thuộc SF, trong đó F là trung điểm của CD.
Mặt khác (P) chia tam giác SCD thành hai phần mà tỉ số diện tích hai phần bằng \({1 \over 8}\) nên \({{S{F_1}} \over {SF}} = {1 \over 3}\).
Khi ấy thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bới (P) là hình thang cân ABC1D1 mà \({C_1}{D_1} = {1 \over 3}C{\rm{D}} = {a \over 3}\) với đường cao EF1.
Ta có
\(\eqalign{ & {S_{AB{C_1}{D_1}}} = {1 \over 2}\left( {AB + {C_1}{D_1}} \right).E{F_1} \cr & = {1 \over 2}\left( {a + {a \over 3}} \right)E{F_1} = {{2a} \over 3}.E{F_1} \cr} \)
Ta tính EF1
Vì \(S{H_1}.SH = S{F_1}.SF = {1 \over 3}S{F^2}\)
nên \({{S{H_1}} \over {SH}} = {1 \over 3}.{{S{F^2}} \over {S{H^2}}}\)
Mặt khác \(HE = HF,S{F_1} = {1 \over 2}{F_1}F\)
nên dễ thấy \({{S{H_1}} \over {SH}} = {1 \over 2}\),
từ đó \({{S{H^2}} \over {S{F^2}}} = {2 \over 3} \Rightarrow {{SH} \over {SF}} = {{\sqrt 6 } \over 3}\).
Ta lại có \({{SH} \over {SF}} = \sin \widehat {SFH} = {{E{F_1}} \over {EF}} = {{E{F_1}} \over a}\).
Vậy \(E{F_1} = {{a\sqrt 6 } \over 3}\).
Từ đó \({S_{AB{C_1}{D_1}}} = {{2{\rm{a}}} \over 3}.{{a\sqrt 6 } \over 3} = {{2{{\rm{a}}^2}\sqrt 6 } \over 9}\).
Xemloigiai.com
Xem thêm Bài tập & Lời giải
Trong bài: Ôn tập chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
Bài tập & Lời giải:
- 👉 Câu 71 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
- 👉 Câu 72 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
- 👉 Câu 73 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
- 👉 Câu 74 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
- 👉 Câu 75 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
- 👉 Câu 76 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
- 👉 Câu 77 trang 129 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
- 👉 Câu 78 trang 129 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
- 👉 Câu 79 trang 129 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
- 👉 Câu 81 trang 129 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
- 👉 Câu 82 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
- 👉 Câu 83 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
- 👉 Câu 84 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
- 👉 Câu 85 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
- 👉 Câu 86 trang 131 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
- 👉 Câu 87 trang 131 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
- 👉 Câu 88 trang 131 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
- 👉 Câu 89 trang 131 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Xem thêm lời giải SBT Toán 11 Nâng cao
PHẦN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 NÂNG CAO
- 👉 CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
- 👉 CHƯƠNG II: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
- 👉 CHƯƠNG III: DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
- 👉 CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
- 👉 CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
- 👉 ÔN TẬP CUỐI NĂM ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
PHẦN HÌNH HỌC 11 NÂNG CAO
- 👉 CHƯƠNG I: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG
- 👉 CHƯƠNG II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG
- 👉 CHƯƠNG III. VECTƠ KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
- 👉 ÔN TẬP CUỐI NĂM - HÌNH HỌC
CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
- 👉 Bài 1: Các hàm số lượng giác
- 👉 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản
- 👉 Bài 3. Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản
- 👉 Ôn tập chương I - Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
CHƯƠNG II: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
- 👉 Bài 1: Hai quy tắc đếm cơ bản
- 👉 Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
- 👉 Bài 3: Nhị thức Niu - tơn
- 👉 Bài 4, 5: Biến cố và xác suất của biến cố - Các quy tắc tính xác suất
- 👉 Bài 6: Biến ngẫu nhiên rời rạc
- 👉 Ôn tập chương II - Tổ hợp và xác suất
CHƯƠNG III: DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
- 👉 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học
- 👉 Bài 2. Dãy số
- 👉 Bài 3. Cấp số cộng
- 👉 Bài 4. Cấp số nhân
- 👉 Ôn tập chương III - Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
- 👉 Bài 1: Dãy số có giới hạn 0
- 👉 Bài 2: Dãy có giới hạn hữu hạn
- 👉 Bài 3: Dãy có giới hạn vô cực
- 👉 Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn của hàm số
- 👉 Bài 5. Giới hạn một bên
- 👉 Bài 6: Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
- 👉 Bài 8: Hàm số liên tục
- 👉 Ôn tập chương IV - Giới hạn - SBT Toán 11 Nâng cao
CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
- 👉 Bài 1: Khái niệm đạo hàm
- 👉 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm
- 👉 Bài 3: Đạo hàm của các hàm số lượng giác
- 👉 Bài 4: Vi phân
- 👉 Bài 5: Đạo hàm cấp cao
- 👉 Ôn tập chương V - Đạo hàm
CHƯƠNG I: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG
- 👉 Bài 1, 2: Mở đầu về phép biến hình. Phép tịnh tiến và phép dời hình
- 👉 Bài 3: Phép đối xứng trục
- 👉 Bài 4: Phép quay và phép đối xứng tâm
- 👉 Bài 5: Hai hình bằng nhau
- 👉 Bài 6, 7: Phép vị tự. Phép đồng dạng
- 👉 Ôn tập chương I - Phép dời hình và phép đồng dạng
- 👉 Bài tập trắc nghiệm chương I - Phép dời hình và phép đồng dạng
CHƯƠNG II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG
- 👉 Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
- 👉 Bài 2: Hai đường thẳng song song
- 👉 Bài 3: Đường thẳng song song với mặt phẳng
- 👉 Bài 4: Hai mặt phẳng song song
- 👉 Bài 5: Phép chiếu song song
- 👉 Ôn tập chương II - Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song
CHƯƠNG III. VECTƠ KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
- 👉 Bài 1. Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ
- 👉 Bài 2, 3, 4: Hai đường thẳng vuông góc. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hai mặt phẳng vuông góc
- 👉 Bài 5: Khoảng cách
- 👉 Ôn tập chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
- 👉 Bài tập trắc nghiệm chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc.
Lớp 11 | Các môn học Lớp 11 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 11 chọn lọc
Danh sách các môn học Lớp 11 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.
Toán Học
- Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 11
- SBT Toán lớp 11 Nâng cao
- SBT Toán 11 Nâng cao
- SGK Toán 11 Nâng cao
- SBT Toán lớp 11
- SGK Toán lớp 11
Vật Lý
- SBT Vật lí 11 Nâng cao
- SGK Vật lí lớp 11 Nâng cao
- SBT Vật lí lớp 11
- SGK Vật lí lớp 11
- Giải môn Vật lí lớp 11
Hóa Học
- Đề thi, đề kiểm tra Hóa lớp 11
- SBT Hóa học 11 Nâng cao
- SGK Hóa học lớp 11 Nâng cao
- SBT Hóa lớp 11
- SGK Hóa lớp 11
Ngữ Văn
Lịch Sử
Địa Lý
Sinh Học
- Đề thi, đề kiểm tra Sinh lớp 11
- SGK Sinh lớp 11 Nâng cao
- SBT Sinh lớp 11
- SGK Sinh lớp 11
- Giải môn Sinh học lớp 11
GDCD
Tin Học
Tiếng Anh
- Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Anh 11 mới
- SBT Tiếng Anh lớp 11
- SGK Tiếng Anh lớp 11
- SBT Tiếng Anh lớp 11 mới
- SGK Tiếng Anh lớp 11 Mới