Đề thi học kì 2 môn toán lớp 8 năm 2019 - 2020 trường THCS Nghĩa Tân
Đề bài
Bài 1 (2,0 điểm):
Cho hai biểu thức: \(A = \dfrac{{x - 2}}{x}\) và \(B = \dfrac{{4x}}{{x + 1}} + \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{{2x}}{{{x^2} - 1}}\) với \(x \ne \pm 1;x \ne 0\)
a) Tính giá trị của biểu thức A khi \(x = \dfrac{2}{3}\)
b) Chứng minh rằng: \(B = \dfrac{{3x}}{{x + 1}}\)
c) Cho \(P = A.B.\) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình \(P = m\) có nghiệm duy nhất.
Bài 2 (2,0 điểm):
Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc \(50\) km/h, sau đó 30 phút, một ôtô cũng xuất phát từ A đến B với vận tốc 60 km/h. Tính độ dài quãng đường AB biết cả 2 xe đến B cùng lúc.
Bài 3 (2,5 điểm):
Giải các phương trình và bất phương trình sau:
a) \(3x\left( {x - 2} \right) = {x^2} - 4\)
b) \(\dfrac{{x + 3}}{{x - 1}} + \dfrac{x}{{x + 1}} = \dfrac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{x^2} - 1}}\)
c) \(3\left( {x - 1} \right) < 5\left( {x + 1} \right) - 2\)
d) \({x^3} > - 2x\)
Bài 4 (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A \(\left( {AB < AC} \right)\), đường cao AH
a) Chứng minh rằng \(\Delta BHA \backsim \Delta BAC\). Từ đó suy ra \(B{A^2} = BH.BC\)
b) Lấy điểm I thuộc AH. Kẻ đường thẳng đi qua B và vuông góc với CI tại K. Chứng minh rằng \(CH.CB = CI.CK\)
c) Tia BK cắt tia HA tại D. Chứng minh rằng \(\widehat {BHK} = \widehat {BDC}\)
d) Trên tia đối của tia KC lấy điểm M sao cho \(BM = BA.\) Chứng minh rằng \(\widehat {BMD} = {90^0}\) .
Bài 5 (0,5 điểm):
Cho \(x > 0.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(M = 4{x^2} - 3x + \dfrac{1}{{4x}} + 2020\)
LG bài 1
Phương pháp giải:
a) Thay \(x = \dfrac{2}{3}\) vào biểu thức A rồi tính toán
b) Qui đồng rồi thực hiện cộng trừ các phân thức để rút gọn B
c) Biến đổi về phương trình bậc nhất rồi sử dụng: \(ax + b = 0\) có nghiệm duy nhất khi \(a \ne 0.\)
Lời giải chi tiết:
Cho hai biểu thức: \(A = \dfrac{{x - 2}}{x}\) và \(B = \dfrac{{4x}}{{x + 1}} + \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{{2x}}{{{x^2} - 1}}\) với \(x \ne \pm 1;x \ne 0\)
a) Tính giá trị của biểu thức A khi \(x = \dfrac{2}{3}\)
Thay \(x = \dfrac{2}{3}\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\) ta được:
\(A = \dfrac{{\dfrac{2}{3} - 2}}{{\dfrac{2}{3}}}\) \( = \dfrac{{\dfrac{{ - 4}}{3}}}{{\dfrac{2}{3}}} = - 2\)
Vậy với \(x = \dfrac{2}{3}\) thì \(A = - 2.\)
b) Chứng minh rằng: \(B = \dfrac{{3x}}{{x + 1}}\)
Với \(x \ne \pm 1;x \ne 0\) ta có:
\(B = \dfrac{{4x}}{{x + 1}} + \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{{2x}}{{{x^2} - 1}}\)
\( = \dfrac{{4x}}{{x + 1}} - \dfrac{x}{{x - 1}} + \dfrac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)
\( = \dfrac{{4x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \dfrac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) \( + \dfrac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)
\(\begin{array}{l} = \dfrac{{4x\left( {x - 1} \right) - x\left( {x + 1} \right) + 2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{4{x^2} - 4x - {x^2} - x + 2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{3{x^2} - 3x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{3x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{3x}}{{x + 1}}\end{array}\)
Vậy \(B = \dfrac{{3x}}{{x + 1}}\) với \(x \ne \pm 1;x \ne 0\)
c) Cho \(P = A.B.\) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình \(P = m\) có nghiệm duy nhất.
Với \(x \ne \pm 1;x \ne 0\) ta có:
\(P = A.B\) \( = \dfrac{{x - 2}}{x}.\dfrac{{3x}}{{x + 1}}\) \( = \dfrac{{3\left( {x - 2} \right)}}{{x + 1}}\)
Xét phương trình \(P = m\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{3\left( {x - 2} \right)}}{{x + 1}} = m\\ \Rightarrow 3\left( {x - 2} \right) = m\left( {x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 3x - 6 = mx + m\\ \Leftrightarrow mx - 3x + m + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)x + m + 6 = 0\left( * \right)\end{array}\)
Để phương trình \(P = m\) có nghiệm duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất khác \( \pm 1\) và khác \(0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 3 \ne 0\\\left( {m - 3} \right).1 + m + 6 \ne 0\\\left( {m - 3} \right).\left( { - 1} \right) + m + 6 \ne 0\\\left( {m - 3} \right).0 + m + 6 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\2m + 3 \ne 0\\9 \ne 0\\m + 6 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\m \ne - \dfrac{3}{2}\\m \ne - 6\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy với \(m \ne 3;m \ne - \dfrac{3}{2};m \ne - 6\) thì phương trình \(P = m\) có nghiệm duy nhất.
LG bài 2
Phương pháp giải:
Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bước 1: Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
Bước 2: Lập phương trình và giải phương trình
Bước 3: Kết hợp điều kiện và kết luận
Lời giải chi tiết:
Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc \(50\) km/h, sau đó 30 phút, một ôtô cũng xuất phát từ A đến B với vận tốc 60 km/h. Tính độ dài quãng đường AB biết cả 2 xe đến B cùng lúc.
Gọi quãng đường AB là \(x\) (km) \(\left( {x > 0} \right)\)
Thời gian xe máy đi từ A đến B là \(\dfrac{x}{{50}}\) giờ
Thời gian ô tô đi từ A đến B là \(\dfrac{x}{{60}}\) giờ
Vì ô tô xuất phát muộn hơn xe máy 30 phút \( = \dfrac{1}{2}\) giờ nên thời gian xe máy đi từ A đến B sẽ nhiều hơn thời gian ô tô đi từ A đến B là \(\dfrac{1}{2}\) giờ. Ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\dfrac{x}{{50}} - \dfrac{x}{{60}} = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6x - 5x}}{{300}} = \dfrac{{150}}{{300}}\end{array}\)
\( \Leftrightarrow x = 150\) (thỏa mãn)
Vậy quãng đường AB dài 150km.
LG bài 3
Phương pháp giải:
a) Đưa về giải phương trình \(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = 0\\B\left( x \right) = 0\end{array} \right.\)
b) Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
B1: Đặt điều kiện và quy đồng mẫu thức
B2: Bỏ mẫu, chuyển vế đưa về giải phương trình \(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = 0\\B\left( x \right) = 0\end{array} \right.\)
B3: So sánh điều kiện và kết luận nghiệm
c) Nhân phá ngoặc rồi đưa về giải bất phương trình bậc nhất 1 ẩn.
d) Chuyển vế, đặt nhân tử chung và đánh giá.
Lời giải chi tiết:
a) \(3x\left( {x - 2} \right) = {x^2} - 4\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) - \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {3x - x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {2x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\2x - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\2x = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {1;2} \right\}\)
b) \(\dfrac{{x + 3}}{{x - 1}} + \dfrac{x}{{x + 1}} = \dfrac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{x^2} - 1}}\) Điều kiện: \(x \ne \pm 1\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \dfrac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\) \( = \dfrac{{{x^2} + 4x + 5}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)
\( \Rightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right) + x\left( {x - 1} \right)\) \( = {x^2} + 4x + 5\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 3x + x + 3 + {x^2} - x\) \( = {x^2} + 4x + 5\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x + 3 - x = {x^2} + 4x + 5\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x + 3 - x - {x^2} - 4x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - 2x + x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\left( {tm} \right)\\x = - 1\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 2.\)
c) \(3\left( {x - 1} \right) < 5\left( {x + 1} \right) - 2\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3x - 3 < 5x + 5 - 2\\ \Leftrightarrow 3x - 5x < 5 - 2 + 3\\ \Leftrightarrow - 2x < 6\\ \Leftrightarrow x > - 3\end{array}\)
Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left\{ {x|x > - 3} \right\}\)
d) \({x^3} > - 2x\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} + 2x > 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 2} \right) > 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow x > 0\) (vì \({x^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên \({x^2} + 2 \ge 2 > 0\) với mọi \(x\))
Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left\{ {x|x > 0} \right\}\)
LG bài 4
Phương pháp giải:
a) Chứng minh hai tam giác BHA và BAC đồng dạng theo trường hợp góc – góc.
Từ đó suy ra cặp cạnh tương ứng tỉ lệ và suy ra đẳng thức cần chứng minh.
b) Chứng minh \(\Delta CHI \backsim \Delta CKB\) theo trường hợp góc – góc.
Từ đó suy ra tỉ số các cặp cạnh tương ứng và đẳng thức cần CM.
c) Chứng minh tỉ số \(\dfrac{{BH}}{{BD}} = \dfrac{{BK}}{{BC}}\) suy ra hai tam giác \(BHK\) và \(BDC\) đồng dạng theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.
Từ đó suy ra cặp góc tương ứng bằng nhau.
d) Chứng minh đẳng thức \(B{M^2} = BK.BD\) từ việc sử dụng kết quả câu a, c và giả thiết BA=BM.
Từ đó suy ra hai tam giác BKM và BMD đồng dạng và suy ra cặp góc tương ứng bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
Cho tam giác ABC vuông tại A \(\left( {AB < AC} \right)\), đường cao AH
a) Chứng minh rằng \(\Delta BHA \backsim \Delta BAC\). Từ đó suy ra \(B{A^2} = BH.BC\)
Tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {BAC} = {90^0}\).
Ta có: \(AH \bot BC \Rightarrow \widehat {AHB} = {90^0}\).
Xét \(\Delta BHA\) và \(\Delta BAC\) có:
\(\begin{array}{l}\widehat {AHB} = \widehat {BAC} = {90^0}\\\widehat B\,\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta BHA \backsim \Delta BAC\left( {g - g} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{BA}} = \dfrac{{BA}}{{BC}}\)(cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow BH.BC = B{A^2}\) (đpcm).
b) Lấy điểm I thuộc AH. Kẻ đường thẳng đi qua B và vuông góc với CI tại K. Chứng minh rằng \(CH.CB = CI.CK\)
Ta có: \(BK \bot CK \Rightarrow \widehat {BKC} = {90^0}\)
\(AH \bot BC \Rightarrow \widehat {CHI} = {90^0}\).
Xét \(\Delta CHI\) và \(\Delta CKB\) có:
\(\begin{array}{l}\widehat C\,\,\,chung\\\widehat {CHI} = \widehat {CKB} = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta CHI \backsim \Delta CKB\left( {g - g} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{CH}}{{CK}} = \dfrac{{CI}}{{CB}}\) (cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow CH.CB = CK.CI\) (đpcm)
c) Tia BK cắt tia HA tại D. Chứng minh rằng \(\widehat {BHK} = \widehat {BDC}\)
Xét \(\Delta BHD\) và \(\Delta BKC\) có:
\(\begin{array}{l}\widehat {BKC} = \widehat {BHD} = {90^0}\\\widehat B\,\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta BHD \backsim \Delta BKC\left( {g - g} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{BK}} = \dfrac{{BD}}{{BC}}\) (cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{BD}} = \dfrac{{BK}}{{BC}}\).
Xét \(\Delta BHK\) và \(\Delta BDC\) có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{BH}}{{BD}} = \dfrac{{BK}}{{BC}}\,\left( {cmt} \right)\\\widehat B\,\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta BHK \backsim \Delta BDC\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \widehat {BHK} = \widehat {BDC}\) (góc tương ứng) (đpcm).
d) Trên tia đối của tia KC lấy điểm M sao cho \(BM = BA.\) Chứng minh rằng \(\widehat {BMD} = {90^0}\) .
Từ câu a ta có: \(B{A^2} = BH.BC\).
Mà \(BM = BA\) nên \(B{M^2} = BH.BC\) (1)
Từ câu c ta có: \(\dfrac{{BH}}{{BD}} = \dfrac{{BK}}{{BC}}\) \( \Rightarrow BH.BC = BK.BD\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(B{M^2} = BK.BD\) \(\left( { = BH.BC} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{BM}}{{BK}} = \dfrac{{BD}}{{BM}}\)
Xét \(\Delta BMD\) và \(\Delta BKM\) có:
\(\begin{array}{l}\widehat B\,\,\,chung\\\dfrac{{BM}}{{BK}} = \dfrac{{BD}}{{BM}}\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta BMD \backsim \Delta BKM\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \widehat {BMD} = \widehat {BKM}\) (góc tương ứng)
Mà \(\widehat {BKM} = {90^0}\) nên \(\widehat {BMD} = {90^0}\) (đpcm).
LG bài 5
Phương pháp giải:
Biến đổi M về làm xuất hiện hằng đẳng thức.
Sử dụng đánh giá \({A^2} \ge 0\) và BĐT Cô – si cho hai số dương \(a,b\) là \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \).
Lời giải chi tiết:
Cho \(x > 0.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(M = 4{x^2} - 3x + \dfrac{1}{{4x}} + 2020\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}M = 4{x^2} - 3x + \dfrac{1}{{4x}} + 2020\\ = 4{x^2} - 4x + x + \dfrac{1}{{4x}} + 1 + 2019\\ = \left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + \left( {x + \dfrac{1}{{4x}}} \right) + 2019\\ = {\left( {2x - 1} \right)^2} + \left( {x + \dfrac{1}{{4x}}} \right) + 2019\end{array}\)
Ta có: \({\left( {2x - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x > 0\).
Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương là \(x\) và \(\dfrac{1}{{4x}}\) ta có:
\(x + \dfrac{1}{{4x}} \ge 2\sqrt {x.\dfrac{1}{{4x}}} \) \( = 2.\sqrt {\dfrac{1}{4}} = 2.\dfrac{1}{2} = 1\)
\( \Rightarrow M \ge 0 + 1 + 2019 = 2020\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 = 0\\x = \dfrac{1}{{4x}}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 1\\4{x^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\)
Vậy GTNN của M là \(2020\) khi \(x = \dfrac{1}{2}\).
HẾT
Xemloigiai.com
Xem thêm Bài tập & Lời giải
Trong bài: Đề thi học kì 2 của các trường có lời giải – Mới nhất
Bài tập & Lời giải:
- 👉 Đề thi học kì 2 môn toán lớp 8 năm 2019 - 2020 trường THCS Dịch Vọng
- 👉 Đề thi học kì 2 môn toán lớp 8 năm 2019 - 2020 trường THCS Nguyễn Tri Phương
- 👉 Đề thi học kì 2 môn toán lớp 8 năm 2019 - 2020 trường THCS Bình Thọ
- 👉 Đề thi học kì 2 môn toán lớp 8 năm 2019 - 2020 PGD huyện Ba Vì
- 👉 Giải đề thi học kì 2 toán lớp 8 năm 2020 - 2021 THCS Giảng Võ
Xem thêm lời giải Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 8
Lớp 8 | Các môn học Lớp 8 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 8 chọn lọc
Danh sách các môn học Lớp 8 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.
Bài soạn văn lớp 12 siêu ngắn
Toán Học
- Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 8
- Tài liệu Dạy - học Toán 8
- SBT Toán lớp 8
- Vở bài tập Toán 8
- SGK Toán lớp 8
Vật Lý
Hóa Học
- Đề thi, đề kiểm tra Hóa lớp 8
- Tài liệu Dạy - học Hóa học 8
- SBT Hóa lớp 8
- SGK Hóa lớp 8
- Giải môn Hóa học lớp 8
Ngữ Văn
- Đề thi, đề kiểm tra Văn 8
- SBT Ngữ văn lớp 8
- Tác giả - Tác phẩm văn 8
- Văn mẫu lớp 8
- Vở bài tập Ngữ văn lớp 8
- Soạn văn 8 chi tiết
- Soạn văn 8 ngắn gọn
- Soạn văn 8 siêu ngắn
- Bài soạn văn lớp 8 siêu ngắn
- Bài soạn văn 8
- Bài văn mẫu 8
Lịch Sử
Địa Lý
Sinh Học
- Đề thi, đề kiểm tra Sinh lớp 8
- SBT Sinh lớp 8
- Vở bài tập Sinh học 8
- SGK Sinh lớp 8
- Giải môn Sinh học lớp 8
GDCD
Tin Học
Tiếng Anh
- Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Anh 8 mới
- SGK Tiếng Anh lớp 8
- SBT Tiếng Anh lớp 8 mới
- Vở bài tập Tiếng Anh 8
- SGK Tiếng Anh lớp 8 Mới