Giải bài 3 trang 94 sách bài tập toán 10 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC} \)

Lời giải chi tiết

Ta có:  \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\)

\(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB} \)

Từ B kẻ \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {CB} \), suy ra \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD\)

Áp dụng định lí côsin ta có \(AD = \sqrt {A{B^2} + B{D^2} - 2.AB.BD.\cos \widehat {ABD}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2} - 2.a.a.\cos 120^\circ }  = a\sqrt 3 \)

Vậy độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC} \) lần lượt là a và \(a\sqrt 3 \)