Giải bài 9 trang 120 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Các điểm A, G, H, I, O phân biệt. Chứng minh rằng:

a) Nếu tam giác ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng;

b) Nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.

Lời giải chi tiết

a)

Trong tam giác ABC cân tại A có AD là đường trung tuyến.

Xét tam giác ABD và tam giác ACD có:

     AB = AC (tam giác ABC cân);

     AD chung;

     BD = DC (D là trung điểm của BC).

Vậy \(\Delta ABD = \Delta ACD\)(c.c.c.). Suy ra: \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = 90^\circ \) (vì ba điểm B, D, C thẳng hàng); \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\).

Vậy AD là đường cao của tam giác và đường phân giác của góc A.

Suy ra: AD là đường trung trực của tam giác ABC.

Vậy AD là đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác, đường trung trực của tam giác ABC.

Mà G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực nên A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy nếu tam giác ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

b)

Ta có: \(AD \bot BC\).

H là trực tâm của tam giác ABC nên A, H, D thẳng hàng.

Mà A, H, I  thẳng hàng nên A, H, I, K thẳng hàng.

Suy ra: AD là tia phân giác của góc BAC (Vì AI là tia phân giác của góc BAC).

Nên \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\).

Xét tam giác BAD và tam giác CAD có:

     \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\);

     AD chung;

     \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC}\) (\(AD \bot BC\)).

\(\Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACD\)(g.c.g). Suy ra: AB = AC ( 2 cạnh tương ứng).

Do đó, tam giác ABC cân tại A

Vậy nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.