Phương pháp giải một số dạng bài tập về con lắc lò xo

Lý thuyết:

Dạng 1: Tính chu kì, tần số của con lắc lò xo

Sử dụng các công thức:

+ Tần số góc: \(\omega  = \sqrt {\frac{k}{m}}  = \sqrt {\frac{g}{{\Delta {l_0}}}}  = \frac{{2\pi }}{T} = 2\pi f\)

+ Chu kì: \(T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}}  = 2\pi \sqrt {\frac{{\Delta {l_0}}}{g}} \)

+ Tần số: \(f = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{k}{m}}  = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{g}{{\Delta {l_0}}}} \)

Với \(\Delta {l_0} = \frac{{mg}}{k}\) là độ biến dạng của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng.

*Bài toán ghép vật

- Lò xo K gắn vật nặng m₁ thì dao động với chu kì T₁. Còn khi gắn vật nặng m₂ thì dao động với chu kì T₂. Chu kì dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m = m₁ + m₂ là:

\({T^2} = T_1^2 + T_2^2\)

Tổng quát:

+ Chu kì dao động của vật khi gắn vật có khối lượng \(m = {m_1} + {m_2} + ... + {m_n}\) là:

\({T^2} = T_1^2 + T_2^2 + ... + T_n^2\)

+ Chu kì dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m = a.m₁ + b.m₂ là:

\({T^2} = aT_1^2 + bT_2^2\)

- Lò xo K gắn vật nặng m₁ thì dao động với chu kì f₁. Còn khi gắn vật nặng m₂ thì dao động với chu kì f₂. Tần số dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m = m₁ + m₂ là:

\(f = \frac{{{f_1}{f_2}}}{{\sqrt {f_1^2 + f_2^2} }}\)

Tổng quát:

+ Tần số dao động của vật khi gắn vật có khối lượng \(m = {m_1} + {m_2} + ... + {m_n}\) là:

\(\frac{1}{{{f^2}}} = \frac{1}{{f_1^2}} + \frac{1}{{f_2^2}} + ... + \frac{1}{{f_n^2}}\)

+ Tần số dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m = a.m₁ + b.m₂ là:

\(\frac{1}{{{f^2}}} = \frac{{{a}}}{{f_1^2}} + \frac{{{b}}}{{f_2^2}}\)

Bài tập ví dụ:

Bài 1: Một con lắc lò xo nằm ngang có độ cứng k = 100 N/m được gắn vào vật nặng có khối lượng m = 0,1 kg. Kích thích cho vật dao động điều hòa, xác định chu kì của con lắc lò xo.

Hướng dẫn giải

 Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}m = 0,1kg\\k = 100N/m\end{array} \right. \Rightarrow T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}}  = 2\pi \sqrt {\frac{{0,1}}{{100}}}  = 0,2 {\rm{s}}\)

Bài 2: Một lò xo có độ cứng là k. Khi gắn vậ m₁ vào lò xo và cho dao động thì chu kì là 0,3 s. Khi gắn vật có khối lượng m₂ vào lò xo trên và kích thích cho dao động thì nó dao động với chu kì là 0,4s. Hỏi nếu khi gắn vật có khối lượng m = 2m₁ + 3m₂ thì nó dao động với chu kì là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Khi đó chu kì dao động của vật là:

\({T^2} = 2T_1^2 + 3T_2^2 \\\Leftrightarrow T = \sqrt {2T_1^2 + 3T_2^2}  \\= \sqrt {2.0,{3^2} + 3.0,{4^2}}  = 0,812s\)

Dạng 2: Chiều dài CLLX - lực đàn hồi, lực hồi phục của con lắc lò xo

1. Tính chiều dài của lò xo trong quá trình vật dao động

Gọi chiều dài tự nhiên của lò xo là l₀.

- Khi con lắc lò xo nằm ngang:

+ Lúc vật ở VTCB, lò xo không bị biến dạng, 

+ Chiều dài cực đại của lò xo: \({l_{{\rm{max}}}} = {l_0} + A\)

+ Chiều dài cực tiểu của lò xo: \({l_{{\rm{min}}}} = {l_0} - A\)

+ Chiều dài ở li độ x: \(l = {l_0} + x\)

- Khi con lắc lò xo bố trí thẳng đứng hoặc nằm nghiêng một góc αvà treo ở dưới.

+ Độ biến dạng của lò xo khi vật ở VTCB: 

• Con lắc lò xo treo thẳng đứng: \(\Delta {l_0} = \frac{{mg}}{k}\)
• Con lắc lò xo nằm nghiêng góc α: \(\Delta {l_0} = \frac{{mg\sin \alpha }}{k}\)

+ Chiều dài lò xo khi vật ở VTCB: \({l_{vtcb}} = {l_0} + \Delta l\)

+ Chiều dài ở li độ x: \(l = {l_0} + \Delta {l_0} + x\)

+ Chiều dài cực đại của lò xo: \({l_{{\rm{max}}}} = {l_0} + \Delta {l_0} + A\)

+ Chiều dài cực tiểu của lò xo: \({l_{{\rm{min}}}} = {l_0} + \Delta {l_0} - A\)

Có độ lớn \({F_{dh}} = {\rm{ }}k{x^*}\)  (x^* là độ biến dạng của lò xo)

- Với con lắc lò xo nằm ngang thì lực kéo về và lực đàn hồi là một (vì tại VTCB lò xo không biến dạng)

- Với con lắc lò xo thẳng đứng hoặc đặt trên mặt phẳng nghiêng:

Khi hệ dao động theo phương nằm ngang thì lực đàn hồi và lực hồi phục là như nhau ${F_{dh}} = {F_{hp}}$

Bài tập ví dụ: Một con lắc lò xo có chiều dài tự nhiên là 30 cm, độ cứng của lò xo là k = 10 N/m. Treo vật nặng có khối lượng m = 0,1 kg vào lò xo và kích thích cho lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ A = 5cm. Xác định lực đàn hồi cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động của vật.

Hướng dẫn giải

Độ biến dạng của lò xo khi vật ở VTCB là:

\(\Delta {l_0} = \frac{{mg}}{k} = \frac{{0,1.10}}{{10}} = 0,1m\)

Lực đàn hồi cực đại:

\({F_{\max }} = k\left( {\Delta {l_0} + A} \right) = 10.\left( {0,1 + 0,05} \right) = 1,5N\)

Lực đàn hồi cực tiểu:

\({F_{\min }} = k\left( {\Delta l - A} \right) = 10.\left( {0,1 - 0,05} \right) = 0,5N\)

Dạng 3. Bài tập năng lượng của con lắc lò xo

Phương pháp

Cho một con lắc lò xo có độ cứng k, vật có khối lượng m, dao động điều hòa với phương trình : \(x = Ac{\rm{os(}}\omega {\rm{t + }}\varphi {\rm{)}}\) và có vận tốc: \(v =  - A\omega \sin (\omega t + \varphi )\).

- Đồ thị dao động:

Dạng 4. Tính thời gian lò xo nén hay giãn trong một chu kì

Phương pháp:

1. Con lắc lò xo nằm ngang:

Thời gian lò xo giãn bằng thời gian lò xo nén

2. Con lắc lò xo treo thẳng đứng:

+ Khi \(A < \Delta {l_0}\) : Trong quá trình dao động, lò xo chỉ bị giãn mà không có nén => Thời gian lò xo giãn = T, thời gian lò xo nén = 0

+ Khi \(A > \Delta {l_0}\) :

• Thời gian lò xo nén 1 lần là thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí \({x_1} = - \Delta {l_0}\) đến \({x_2} =  - A\)  là : \(\Delta t = 2\frac{\alpha }{\omega }\) trong đó: \({\rm{cos}}\alpha {\rm{ = }}\frac{{\Delta {l_0}}}{A}\)
• Thời gian lò xo giãn 1 lần là thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí \({x_1} = - \Delta {l_0}\)đến \({x_2} =  - A\) là: \(T - \Delta t\)

Trong một dao động (một chu kỳ) lò xo nén 2 lần và giãn 2 lần

3. Con lắc lò xo nằm nghiêng:

+ Khi \(A{\rm{ }} < \Delta {l_0}\) :

• Đầu cố định ở trên (Hình b): Trong quá trình dao động, lò xo chỉ bị giãn mà không có nén => Thời gian lò xo giãn = T, thời gian lò xo nén = 0

• Đầu cố định ở dưới (Hình a): Trong quá trình dao động, lò xo chỉ bị nén mà không có giãn => Thời gian lò xo giãn = 0, thời gian lò xo nén = T

+ Khi \(A{\rm{ }} > \Delta {l_0}\) :

• Thời gian lò xo nén 1 lần là thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí \({x_1} = - \Delta {l_0}\)đến \({x_2} =  - A\)là : \(\Delta t = 2\frac{\alpha }{\omega }\) trong đó: \({\rm{cos}}\alpha {\rm{ = }}\frac{{\Delta {l_0}}}{A}\)
• Thời gian lò xo giãn 1 lần là thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí \({x_1} = - \Delta {l_0}\)đến \({x_2} =  - A\)là: T-∆t

Trong một dao động (một chu kỳ) lò xo nén 2 lần và giãn 2 lần

Dạng 5. Bài toán va chạm

1. Va chạm theo phương ngang

2. Va chạm theo phương thẳng đứng

3. Sau va chạm đàn hồi hai vật tách rời ở vị trí cân bằng