Bài 1.1 phần bài tập bổ sung trang 123 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = 105^\circ \), \(\widehat B = 45^\circ \), \(BC = 4cm\). Tính độ dài các cạnh \(AB, AC.\)

Lời giải chi tiết

Vẽ đường cao \(AH\). Đặt \(BH = x,\) \(CH = y\) thì do \(H\) nằm giữa \(B\) và \(C\) ( hai góc \(\widehat B,\widehat C\) là góc nhọn) suy ra \(x + y = 4\) (xem hình trên).

Tam giác ABH vuông có \(\widehat B = {45^0}\left( {gt} \right)\) nên ABH là tam giác vuông cân tại H.

Suy ra \(\widehat {BAH} = {45^0} \Rightarrow \widehat {HAC} = \widehat {BAC} - \widehat {BAH}\)

\( = {105^0} - {45^0} = {60^0}\)

Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có: 

Ta có \( AH = HC.\cot \widehat {HAC}= HC. \cot60^\circ\)\(= \displaystyle {y \over {\sqrt 3 }}\)

Suy ra \(x =BH=AH= \displaystyle {y \over {\sqrt 3 }}\) \( \Rightarrow y = x\sqrt 3 \)

Từ đó \(x + y = 4\)\( \Leftrightarrow x + \sqrt {3}x  = 4 \Leftrightarrow x(1 + \sqrt {3})  = 4\) \(\Leftrightarrow x = \displaystyle {4 \over {1 + \sqrt 3 }} \approx 1,46\)

Hay \(BH=AH\approx 1,46\,(cm)\)

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có: 

\(AB = \displaystyle {{AH} \over {\sin 45^\circ }} = {{2AH} \over {\sqrt 2 }} \approx 2,06\,(cm)\)

Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:

\(AC = \dfrac{{AH}}{{\cos \widehat {HAC}}} = \dfrac{{AH}}{{\cos {{60}^0}}} \)\(\approx \dfrac{{1,46}}{{\dfrac{1}{2}}} = 2,92\left( {cm} \right)\)

Xemloigiai.com