Bài 1.23 trang 10 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Bài làm:

Tính giá trị gần đúng (chính xác đến hàng phần trăm) nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho:

LG a

\(\sin \left( {2x + {\pi  \over 6}} \right) = {2 \over 5}\) trong khoảng \(\left( { - {\pi  \over 3};{\pi  \over 6}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(y = 2x + {\pi  \over 6}\) thì:

\( - {\pi  \over 3} < x < {\pi  \over 6} \)\(\Leftrightarrow  - {\pi  \over 2} < y < {\pi  \over 2}\)

Ta có phương trình (với ẩn y) \(\sin y = {2 \over 5}\) (1)

Với \( - {\pi  \over 2} < y < {\pi  \over 2},\) phương trình (1) có một nghiệm suy nhất là \(y = \arcsin {2 \over 5}.\)

Vậy với \( - {\pi  \over 3} < x < {\pi  \over 6},\) phương trình đã cho tương đương với phương trình \(2x + {\pi  \over 6} = \arcsin {2 \over 5}\)

Do đó nó cũng có một nghiệm duy nhất là \(x = {1 \over 2}\left( {\arcsin {2 \over 5} - {\pi  \over 6}} \right)\)

Lấy giá trị gần đúng \(\arcsin {2 \over 5} \approx 0,412\) và \({\pi  \over 6} \approx 0,524,\) ta được \(x \approx  - 0,06.\)

(Chú ý: Muốn tính gần đúng kết quả cuối cùng chính xác đến hàng phần trăm thì trong kết quả trung gian phải tính chính xác đến hàng phần nghìn).

LG b

\(\cos {x \over 2} = {{\sqrt 2 } \over 3}\) trong khoảng \(\left( {2\pi ;4\pi } \right)\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(y = {x \over 2}\) thì:

\(2\pi  < x < 4\pi  \Leftrightarrow \pi  < y < 2\pi \)

Ta có phương trình \(\cos y = {{\sqrt 2 } \over 3}.\)

Do \(0 < {{\sqrt 2 } \over 3} < 1\) nên phương trình \(\cos y = {{\sqrt 2 } \over 3}\) có duy nhất một nghiệm \(y = \alpha \) thuộc khoảng \(\left( {\pi ;2\pi } \right)\) (có thể thấy rõ điều này trên đường tròn lượng giác).

Vậy trong khoảng \(\left( {2\pi ;4\pi } \right),\) phương trình đã cho tương đương với phương trình \({x \over 2} = \alpha ,\)

Do đó có một nghiệm duy nhất \(x = 2\alpha .\)

Để tính giá trị gần đúng của \(\alpha ,\) ta làm như sau:

Dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta tìm được số \(\beta \) thỏa mãn \(0 < \beta  < \pi \) và \(\cos \beta  = {{\sqrt 2 } \over 3}\).

(Cụ thể \(\beta  = \arccos {{\sqrt 2 } \over 3} \approx 1,080\)).

Khi đó, dễ thấy \(2\pi  - \beta \) thỏa mãn \(\pi  < 2\pi  - \beta  < 2\pi \) và \(\cos \left( {\pi  - \beta } \right) = \cos \beta  = {{\sqrt 2 } \over 3},\) nghĩa là \(\alpha  = 2\pi  - \beta .\)

Vì \(\beta  \approx 1,080\) nên giá trị gần đúng nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 2\alpha  \approx 10,41.\)

LG c

\(\tan {{3x - \pi } \over 5} =  - 3\) với \( - {\pi  \over 2} < x < {{7\pi } \over 6}\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(y = {{3x - \pi } \over 5}.\)

Khi đó \( - {\pi  \over 2} < y < {\pi  \over 2}\) và phương trình đã cho có dạng \(\tan y =  - 3.\)

Với điều kiện \( - {\pi  \over 2} < y < {\pi  \over 2}\), phương trình này có một nghiệm duy nhất \(y = \arctan \left( { - 3} \right).\)

Vì vậy \({{3x - \pi } \over 5} = \arctan \left( { - 3} \right)\) \( \Leftrightarrow x = {1 \over 3}\left( {5\arctan \left( { - 3} \right) + \pi } \right)\)

Nên \(x = {1 \over 3}\left( {5\arctan \left( { - 3} \right) + \pi } \right)\) cũng là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho thỏa mãn điều kiện \( - {\pi  \over 2} < y < {{7\pi } \over 6}\)

Lấy giá trị gần đúng \(\arctan \left( { - 3} \right) \approx  - 1,249\) , ta được \(x \approx  - 1,03\)

Xemloigiai.com