Bài 1.31 trang 12 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải bài 1.31 trang 12 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh...

Bài làm:

LG a

Từ khẳng định (khi x thay đổi, hàm số \(y = \sin x\) nhận mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\)”, hãy chứng minh rằng: khi x thay đổi, hàm số  \(y = a\sin x + b\cos x\) (a, b là hằng số, \({a^2} + {b^2} \ne 0\)) lấy mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn \(\left[ { - \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right]\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(a\sin x + b\cos x = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right)\)

\(\begin{array}{l}
- 1 \le \sin \left( {x + \alpha } \right) \le 1\\
\Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right) \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\
\Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le y \le \sqrt {{a^2} + {b^2}}
\end{array}\)

Vậy hàm số y nhận mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn \(\left[ { - \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right]\)


LG b

Xét hàm số \(y = {{\sin x + \cos x - 1} \over {\sin x - \cos x + 3}}\).

Viết đẳng thức đó thành

\(\left( {y - 1} \right)\sin x - \left( {y + 1} \right)\cos x =  - 3y - 1\)

để suy ra rằng khi x thay đổi, hàm số trên lấy mọi giá trị y tùy ý thỏa mãn điều kiện.

\({\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} \ge {\left( {3y + 1} \right)^2}\)

Từ đó hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho.

Lời giải chi tiết:

Do \(\left| {\sin x - \cos x} \right| \le \sqrt 2 \) nên \(\sin x - \cos x + 3 \ne 0\) với mọi x.

Khi đó:

\(\begin{array}{l}
y = \frac{{\sin x + \cos x - 1}}{{\sin x - \cos x + 3}}\\
\Leftrightarrow y\sin x - y\cos x + 3y = \sin x + \cos x - 1\\
\Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\sin x - \left( {y + 1} \right)\cos x = - \left( {3y + 1} \right)
\end{array}\)

Với mọi giá trị y cho trước, biểu thức ở vế trái của đẳng thức này lấy mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn \(\left[ { - \sqrt {{{\left( {y - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} ;\sqrt {{{\left( {y - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} } \right].\) Đẳng thức trên cho thấy \( - \left( {3y + 1} \right)\) phải thuộc đoạn đó, tức là:

\({\left( {3y + 1} \right)^2} \le {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2}\)

Vậy với mọi y thỏa mãn điều kiện này, tồn tại x để

\(\left( {y - 1} \right)\sin x - \left( {y + 1} \right)\cos x =  - \left( {3y + 1} \right)\)

Để ý rằng bất đẳng thức trên tương đương với

\(7{y^2} + 6y - 1 \le 0\) tức là \( - 1 \le y \le {1 \over 7}\)

Từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là \({1 \over 7}\) và -1.


LG c

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y = {{\cos x + 2\sin x + 3} \over {2\cos x - \sin x + 4}}\)

Lời giải chi tiết:

\(y = {{\cos x + 2\sin x + 3} \over {2\cos x - \sin x + 4}}\)

Ta có: \(\left| {2\cos x - \sin x} \right| \le \sqrt 5 ,\) nên \(2\cos x - \sin x + 4 \ne 0\) với mọi x.

Khi đó,

\(\begin{array}{l}
y = \frac{{\cos x + 2\sin x + 3}}{{2\cos x - \sin x + 4}}\\
\Leftrightarrow \cos x + 2\sin x + 3 = 2y\cos x - y\sin x + 4y\\
\Leftrightarrow \left( {y + 2} \right)\sin x + \left( {1 - 2y} \right)\cos x = 4y - 3
\end{array}\)

Để tồn tại cặp số (x;y) thì:

\({\left( {4y - 3} \right)^2} \le {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {1 - 2y} \right)^2}\)

Bất đẳng thức tương đương với \(11{y^2} - 24y + 4 \le 0\) tức là \({2 \over {11}} \le y \le 2\)

Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là 2 và \({2 \over {11}}\)

Xemloigiai.com

Xem thêm Bài tập & Lời giải

Trong bài: Bài 3: Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản

Bài tập & Lời giải:

Lý thuyết:

Xem thêm lời giải SBT Toán lớp 11 Nâng cao

Giải sách bài tập toán hình học và đại số lớp 11. Giải chi tiết tất cả câu hỏi trong các chương và bài chi tiết trong SBT hình học và đại số toán 11 nâng cao với cách giải nhanh và ngắn gọn nhất

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH SBT 11 NÂNG CAO

HÌNH HỌC SBT 11 NÂNG CAO

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

CHƯƠNG 2: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

CHƯƠNG 3: DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

CHƯƠNG 4: GIỚI HẠN

CHƯƠNG 5: ĐẠO HÀM

CHƯƠNG 1: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG

CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG

CHƯƠNG 3. VECTƠ KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Lớp 11 | Các môn học Lớp 11 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 11 chọn lọc

Danh sách các môn học Lớp 11 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.