Bài 20 trang 144 Vở bài tập toán 9 tập 2
Đề bài
Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB=2R\), \(Ax\) và \(By\) là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn tại \(A\) và \(B\). Lấy trên tia \(Ax\) điểm \(M\) rồi vẽ tiếp tuyến \(MP\) cắt \(By\) tại \(N\).
a/ Chứng minh rằng \(MON\) và \(APB\) là hai tam giác vuông đồng dạng.
b/ Chứng minh \(AM.BN = {R^2}.\)
c/ Tính tỉ số \(\dfrac{{{S_{MON}}}}{{{S_{APB}}}}\,khi\,AM = \dfrac{R}{2}.\)
d/ Tính thể tích của hình do nửa hình tròn \(APB\) quay quanh \(AB\) sinh ra.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất tứ giác nội tiếp
b) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và hệ thức lượng trong tam giác vuông
c) Sử dụng: “ Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng”
d) Thể tích hình cầu bán kính \(R\) là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}.\)
Lời giải chi tiết
a) \(MA//NB\) vì \(MA \bot AB\) và \(NB \bot AB.\)
Nên \(AMNB\) là hình thang \(\widehat M + \widehat N = 180^\circ \,\left( 1 \right)\)
\(\widehat {{M_1}} = \dfrac{1}{2}\widehat M\) và \(\widehat {{N_1}} = \dfrac{1}{2}\widehat N\,\,\,\,\,(2)\) theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
\( \Rightarrow \widehat {{N_1}} + \widehat {{M_1}} = 90^\circ ;\) Do đó, \(\widehat {MON} = 90^\circ \Rightarrow \Delta MON\) là tam giác vuông.
\(\Delta APB\) có \(\widehat {APB} = 90^\circ \) vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( {O;\dfrac{{AB}}{2}} \right)\)
Do đó, \(\Delta MON\) và \(\Delta MPO\) là hai tam giác vuông.
Theo tính chất điểm chính giữa cung ta có : \(MO \bot AP\) và \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\)
\( \Rightarrow \widehat {{M_1}} = \widehat {{A_1}}\) vì là hai góc cùng phụ với hai góc bằng nhau \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}.\)
Vậy \(\Delta MPO \backsim \Delta MON\) vì tam giác vuông có \(\widehat {{M_1}}\) chung.
b) Xét \(\Delta MAO\) và \(\Delta NBO\) là hai tam giác vuông có \(\widehat {AMO} = \widehat {BON}\) vì cùng bằng \(90^\circ \Rightarrow \Delta MAO \backsim \Delta OBN.\)
Do đó \(\dfrac{{AM}}{{AO}} = \dfrac{{OB}}{{BN}}\) mà \(AO = OB = R \Rightarrow AM.BN = {R^2}.\)
c) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : \(AM = MP;BN = NP.\)
Từ câu b) ta có \(AM.BN = {R^2}\) \( \Rightarrow BN = \dfrac{{{R^2}}}{{AM}}\) \( \Rightarrow MN = \dfrac{R}{2} + 2R = \dfrac{{5R}}{2}\)
Suy ra \(M{N^2} = \dfrac{{25{R^2}}}{4} \Rightarrow \dfrac{{{S_{MON}}}}{{{S_{APB}}}} = \dfrac{{M{N^2}}}{{A{B^2}}}\)\( = \dfrac{{25}}{{16}}.\)
d) Nửa hình tròn \(APB\) quay quanh \(AB\) sinh ra hình cầu bán kính \(R\)
Vậy \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}.\)
Xemloigiai.com
Xem thêm Bài tập & Lời giải
Trong bài: Bài 3. Hình cầu - Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu
Xem thêm lời giải Vở bài tập Toán 9
PHẦN ĐẠI SỐ - VỞ BÀI TẬP TOÁN 9 TẬP 1
PHẦN HÌNH HỌC - VỞ BÀI TẬP TOÁN 9 TẬP 1
PHẦN ĐẠI SỐ - VỞ BÀI TẬP TOÁN 9 TẬP 2
- 👉 CHƯƠNG 3: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
- 👉 CHƯƠNG 4: HÀM SỐ y=ax^2 (a khác 0) - PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
PHẦN HÌNH HỌC - VỞ BÀI TẬP TOÁN 9 TẬP 2
Lớp 9 | Các môn học Lớp 9 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 9 chọn lọc
Danh sách các môn học Lớp 9 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.
Bài soạn văn lớp 12 siêu ngắn
Toán Học
- Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 9
- Đề thi vào 10 môn Toán
- Tài liệu Dạy - học Toán 9
- SBT Toán lớp 9
- Vở bài tập Toán 9
- SGK Toán lớp 9
Vật Lý
Hóa Học
- Đề thi, đề kiểm tra Hóa lớp 9
- Tài liệu Dạy - học Hóa học 9
- SBT Hóa lớp 9
- SGK Hóa lớp 9
- Giải môn Hóa học lớp 9
Ngữ Văn
Lịch Sử
Địa Lý
Sinh Học
- Đề thi, đề kiểm tra Sinh lớp 9
- SBT Sinh lớp 9
- Vở bài tập Sinh học 9
- SGK Sinh lớp 9
- Giải môn Sinh học lớp 9
GDCD
Tin Học
Tiếng Anh
- Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Anh 9 mới
- Đề thi vào 10 môn Anh
- SBT Tiếng Anh lớp 9
- SGK Tiếng Anh lớp 9
- SBT Tiếng Anh lớp 9 mới
- Vở bài tập Tiếng Anh 9
- SGK Tiếng Anh lớp 9 Mới