Bài 58 trang 165 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Đường tròn \((O)\) nội tiếp tam giác \(ABC\) tiếp xúc với \(AB, AC\) lần lượt tại \(D, E.\)

\(a)\) Tứ giác \(ADOE\) là hình gì\(?\) Vì sao\(?\)

\(b)\) Tính bán kính của đường tròn \((O)\) biết \(AB = 3cm, AC = 4cm\) 

Lời giải chi tiết

Vì đường tròn \((O)\) nội tiếp tam giác \(ABC\) nên AB, BC, AC là các tiếp tuyến của đường tròn. 

Gọi F là tiếp điểm của đường tròn (O) với tiếp tuyến BC.

\(a)\) Ta có: \(OD  \bot AB \Rightarrow \widehat {ODA} = 90^\circ \)

\(OE \bot AC \Rightarrow \widehat {OEA} = 90^\circ \)

\(\widehat {BAC} = 90^\circ \) (gt)

Tứ giác \(ADOE\) có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật

Lại có: \(AD = AE\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Vậy tứ giác \(ADOE\) là hình vuông.

\(b)\) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông \(ABC\) ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25\)

Suy ra: \( BC = 5 (cm)\)

Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta có:

\(AD = AE\)

\(      BD = BF\)

\(   CE = CF\)

Mà: \( AD = AB – BD\)

\(  AE = AC – CE\)

Suy ra:    \(AD + AE = AB – BD + (AC – CE )\)

\(  = AB + AC – (BD + CE )\)

\( = AB + AC – (BF + CF )\)

\( = AB + AC – BC\)

Suy ra:    \( AD = AE =\displaystyle {{AB + AC - BC} \over 2}\)\( = \displaystyle {{3 + 4 - 5} \over 2} = 1 (cm)\)

Vì tứ giác \(ADOE\) là hình vuông nên  \(OD=DA=1cm\)

Vậy bán kính của đường tròn \((O)\) là \(1cm.\)

Xemloigiai.com