Bài 60 trang 166 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC,\) đường tròn \((K)\) bằng tiếp góc trong góc \(A\) tiếp xúc với các tia \(AB\) và \(AC\) theo thứ tự tại \(E\) và \(F.\) Cho \(BC = a, AC = b, AB = c.\) Chứng minh rằng:

\(a)\) \(AE  = AF = \displaystyle{{a + b + c} \over 2}\)

\(b)\) \(BE  = \displaystyle{{a + b - c} \over 2};\)

\(c)\) \(CF = \displaystyle{{a + c - b} \over 2}\)

Lời giải chi tiết

\(a)\) Gọi \(D\) là tiếp điểm của đường tròn \((K)\) với cạnh \(BC.\)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

\(BE = BD; CD = CF\)

Mà: \(AE = AB + BE\)

     \(AF = AC + CF\)

Suy ra:   \( AE + AF = AB + BE + AC + CF\)

\(   = AB + AC + (BD + DC)\)

 \( = AB + AC + BC = c + b + a\)

Mà \(AE = AF\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: \(\displaystyle {\rm{AE = AF = }}{{a + b + c} \over 2}\)

\(b)\) Ta có: \(BE = AE – AB \)\(= \displaystyle {{a + b + c} \over 2} - c = {{a + b - c} \over 2}\)

\(c)\) Ta có: \(CF = AF – AC \)\(= \displaystyle {{a + b + c} \over 2} - b = {{a + c - b} \over 2}.\)

Xemloigiai.com