Bài 77* trang 169 SBT toán 9 tập 1

Giải bài 77* trang 169 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với M thuộc (O) và N thuộc (O’). Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’, Q là điểm đối xứng với N qua OO’. Chứng minh rằng:...

Đề bài

Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O’)\) tiếp xúc ngoài tại \(A.\) Kẻ tiếp tuyến chung ngoài \(MN\) với \(M\) thuộc \((O)\) và \(N\) thuộc \((O’).\) Gọi \(P\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(OO’, Q\) là điểm đối xứng với \(N\) qua \(OO’.\) Chứng minh rằng:

\(a)\) \(MNQP\) là hình thang cân.

\(b)\) \(PQ\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \((O)\) và \((O’).\)

\(c)\) \(MN + PQ = MP + NQ.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

+) Tứ giác có hai cạnh đối song song là hình thang.

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

+) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Vì \(M\) và \(P\) đối xứng qua trục \(OO’\) nên \(OO’\) là đường trung trực của \(MP.\)

Suy ra: \(OP = OM\)

Khi đó \(P\) thuộc \((O)\) và \(MP ⊥ OO’\;\;             (1)\)

Vì \(N\) và \(Q\) đối xứng qua trục \(OO’\) nên \(OO’\) là đường trung trực của \(NQ\)

Suy ra: \(O’N = O’Q\)

Khi đó \(Q\) thuộc \((O’)\) và \(NQ ⊥ OO’\;\;            (2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \( MP // NQ\)

Tứ giác \(MNQP\) là hình thang.

Vì \(OO’\) là đường trung trực của \(MP\) và \(NQ\) nên \(OO’\) đi qua trung điểm hai đáy hình thang \(MNQP,\) \(OO’\) đồng thời cũng là trục đối xứng của hình thang \(MNQP\) nên \(MNQP\) là hình thang cân.

\(b)\) Ta có: \(MN ⊥ OM\) ( tính chất tiếp tuyến)

Suy ra:  \(\widehat {OMN} = 90^\circ \) hay \(\widehat {OMP} + \widehat {PMN} = 90^\circ \)    (3)

Vì \(OM = OP\) (= bán kính đường tròn (O)) nên tam giác \(OMP\) cân tại \(O\)

Suy ra: \(\widehat {OPM} = \widehat {OMP}\)                    \( (4)\)

Lại có \(MNQP\) là hình thang cân nên \(\widehat {PMN} = \widehat {QPM}\) \( (5)\)

Từ \((3),\) \((4)\) và \((5)\) suy ra: \(\widehat {OPM} + \widehat {QPM} = 90^\circ \)

Suy ra: \(QP ⊥ OP\) tại \(P\)

Vậy \(PQ\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)

Ta có: \(MN ⊥ O’N\) ( tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: \(\widehat {O'NM} = 90^\circ \)

Mà \(\widehat {O'NM} = \widehat {MNQ} - \widehat {O'NQ} = 90^\circ \)   \((6)\)

Vì \(O’N = O’Q \) (= bán kính đường tròn (O')) nên tam giác \(O’NQ\) cân tại \(O’\)

Suy ra: \(\widehat {O'NQ} = \widehat {O'QN}\)   \((7)\)

Lại có \(MNQP\) là hình thang cân nên \(\widehat {MNQ} = \widehat {PQN}\)  \((8)\)

Từ \((6), (7)\) và \((8)\) suy ra: \(\widehat {PQN} - \widehat {O'QN} = 90^\circ \) hay \(\widehat {O'QP} = 90^\circ \)

Suy ra:   \(QP ⊥ O’Q\) tại \(Q\)

Vậy \(PQ\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O’).\)

\(c)\) Kẻ tiếp tuyến chung tại \(A\) cắt \(MN\) tại \(E\) và \(PQ\) tại \(F\)

Trong đường tròn \((O),\) theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

\( EM = EA\) và \(FP = FA\)

Trong đường tròn \((O’),\) theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:    

   \(EN = EA\) và \(FQ = FA\)

Suy ra:   \(EM = EA = EN = \displaystyle {1 \over 2}MN\)

\(FP = FA = FQ = \displaystyle {1 \over 2}PQ\)

Suy ra: \(MN +PQ = 2EA + 2FA \)\(= 2(EA + FA) = 2EF  \;\;    (9)\)

Vì \(EF\) là đường trung bình của hình thang \(MNQP\) nên:

\(EF = \displaystyle {{MP + NQ} \over 2}\) hay \(MP + NQ = 2EF    \;\;    (10)\)

Từ \((9)\) và \((10)\) suy ra: \( MN + PQ = MP + NQ.\)

Xemloigiai.com

Xem thêm lời giải SBT Toán lớp 9

Giải sách bài tập đại số, hình học lớp 9 tập 1, tập 2. Giải tất cả các chương và các trang trong sách bài tập đại số và hình học với lời giải chi tiết, phương pháp giải ngắn nhất

PHẦN ĐẠI SỐ - SBT TOÁN 9 TẬP 1

PHẦN HÌNH HỌC - SBT TOÁN 9 TẬP 1

PHẦN ĐẠI SỐ - SBT TOÁN 9 TẬP 2

PHẦN HÌNH HỌC - SBT TOÁN 9 TẬP 2

CHƯƠNG 1: CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA

CHƯƠNG 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT

CHƯƠNG 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG TRÒN

CHƯƠNG 3: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

CHƯƠNG 4: HÀM SỐ y=ax^2 (a ≠ 0) . PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

CHƯƠNG 3: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN

CHƯƠNG 4: HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU

BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM

Lớp 9 | Các môn học Lớp 9 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 9 chọn lọc

Danh sách các môn học Lớp 9 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.