Bài 78 trang 170 SBT toán 9 Tập 1

Đề bài

Cho đường tròn \((O ; 2cm)\) và \((O’ ; 3cm),\) \(OO’ = 6cm.\)

\(a)\) Hai đường tròn \((O), (O’)\) có vị trí tương đối như thế nào đối với nhau\(?\)

\(b)\) Vẽ đường tròn \((O',1cm)\) rồi kẻ tiếp tuyến \(OA\) với đường tròn đó ( \(A\) là tiếp điểm). Tia \(O’A\) cắt đường tròn \((O’ ; 3cm)\) ở \(B.\) Kẻ bán kính \(OC\) của đường tròn \((O)\) song song với \(O’B, B\) và \(C\) thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ \(OO’.\) Chứng minh rằng \(BC\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (\(O ; 2cm)\) và \((O’ ; 3cm).\)

\(c)\) Tính độ dài \(BC.\)

\(d)\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BC\) và \(OO’.\) Tính độ dài \(IO.\)

Lời giải chi tiết

\(a)\) Vì \(OO’ = 6 > 2 + 3\) hay \(OO’ > R + R’\) nên hai đường tròn \((O)\) và \((O’)\) ở ngoài nhau.

\(b)\) Xét tứ giác \(ABCO\)  ta có:

         \(AB // CO\;\; (gt)   \;\;                                   (1)\)

Mà:       \( AB = O’B – O’A = 3 – 1 = 2 \;(cm)\)

Suy ra:   \(AB = OC = 2\; (cm)            \;\;                   (2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(ABCO\) là hình bình hành.

Lại có: \(OA  ⊥ O’A\) ( tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: \(\widehat {OAO'} = 90^\circ \) hay \(\widehat {OAB} = 90^\circ \)

Tứ giác \(ABCO\) là hình chữ nhật

Suy ra: \(\widehat {OCB} = \widehat {ABC} = 90^\circ \)

Suy ra: \(BC  ⊥ OC \) và \(BC ⊥ O’B\)

Vậy \(BC\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \((O)\) và \((O’).\)

\(c)\) Vì tứ giác \(ABCO\) là hình chữ nhật nên \(OA = BC\)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(OAO’,\) ta có:

\(OO'^2=OA^2+O'A^2\)

\(\Rightarrow OA^2=OO'^2-O'A^2\)\(=6^2-1^2=35\)

\(⇒ OA =\sqrt {35}(cm)\)

Vậy \(BC = \sqrt {35} (cm)\)

\(d)\) Trong tam giác \(O’BI\) có \(OC // O’B\)

Suy ra: \(\displaystyle {{IO} \over {IO'}} = {{OC} \over {O'B}}\) (hệ quả định lí Ta-lét)

\(⇒\displaystyle {{IO} \over {IO' - IO}} = \displaystyle {{OC} \over {O'B - OC}}\)

\( \Rightarrow \displaystyle {{IO} \over {O'O}} = {2 \over {3 - 2}} \)

\(\Rightarrow \displaystyle {{IO} \over 6} = {2 \over 1}\)

Vậy \(OI = \displaystyle {{6.2} \over 1} = 12 (cm)\)

Xemloigiai.com