Đề cương ôn thi học kỳ I môn toán lớp 11 (Bài tập)
Bài làm:
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = \dfrac{{\sin x + 1}}{{\sin x - 1}}\)
ĐS:\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\);
b)\(f\left( x \right) = \dfrac{{2\tan x + 2}}{{\cos x - 1}}\)
ĐS: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
c) \(f\left( x \right) = \dfrac{{\cot x}}{{\sin x + 1}}\)
ĐS: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Bài 2. Tìm chu kì của các hàm số sau:
a) \(y = \sin \sqrt x \)
ĐS:Hàm số không tuần hoàn
b) \(y = \sin 2x\)
ĐS: \(T = \pi \)
c) \(y = \tan x + \cot 2x\)
ĐS:\(T = \pi \)
Bài 3. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
a) \(y = \sqrt {1 + \sin x} + 2;\)
ĐS: GTNN=2 khi \(x = \dfrac{{ - \pi }}{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\);
GTLN=\(2 + \sqrt 2 \) khi \(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \(y = 3\sin x + 4\cos x;\)
ĐS: GTNN=\( - \dfrac{1}{5}\) khi \(x = - \alpha - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi\)\( \left( {k \in \mathbb{Z};\cos \alpha = \dfrac{3}{5};\sin \alpha = \dfrac{4}{5}} \right)\)
GTLN=\(\dfrac{1}{5}\) khi \(x = - \alpha + \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z};\cos \alpha = \dfrac{3}{5};\sin \alpha = \dfrac{4}{5}} \right)\)
c) \(y = \left( {\sin x - 2\cos x} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right)\)\( - 1\)
ĐS: GTNN=\( - \dfrac{7}{2}\) khi \(x = \alpha - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z};\cos \alpha = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }};\sin \alpha = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)\);
GTLN=\(\dfrac{3}{2}\) khi \(x = \alpha + \dfrac{\pi }{4} + k\pi\)\( \left( {k \in \mathbb{Z};\cos \alpha = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }};\sin \alpha = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)\)
Bài 4. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) \(\cos \left( {2x - {{60}^0}} \right) + \sin x = 0\);
ĐS: \(x \in \left\{ {\dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi ; - \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
b) \(3\tan 3x + \cot 3x - 4 = 0\);
ĐS: \(x \in \left\{ {\dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{k\pi }}{3};\dfrac{1}{3}\arctan \dfrac{1}{3} + \dfrac{{k\pi }}{3}} \right\}\)
c) \(4{\cos ^2}x - 3\sin x\cos x - {\sin ^2}x = 3\);
ĐS: \(x \in \left\{ { - \dfrac{\pi }{4} + k\pi ;{\mathop{\rm arccot}\nolimits} 4 + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
d) \({\sin ^2}4x + {\sin ^2}3x = {\sin ^2}2x + {\sin ^2}x\);
ĐS: \(x \in \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2};\dfrac{{k\pi }}{5},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Bài 5. Giải các phương trình sau:
a) \(\cos 4x + 2{\cos ^2}x = 3\)
ĐS: \(x = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \({\cos ^3}x + \sin x - 3{\sin ^2}x\cos x = 0\)
ĐS: \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ;x = - \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c) \(1 + {\cos ^3}x - {\sin ^3}x = \sin 2x\)
ĐS: \(x = k2\pi ;x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \)
d) \(\sin 2x + \cos 2x + 3\sin x - \cos x - 2 = 0\)
ĐS: \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = - \pi + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Bài 6. Tìm điều kiện của m để phương trình \(3\sin x + m\cos x = 5\) vô nghiệm.
ĐS: \( - 4 < m < 4\)
Bài 7. Tìm m để phương trình \({\sin ^2}x + 4\sin x\cos x + 2m{\cos ^2}x = 0\) có nghiệm
ĐS: \(m \le 2\)
Bài 8. Tìm m để phương trình \(\left( {3\cos x - 2} \right)\left( {2\cos x + 3m - 1} \right) = 0{\rm{ }}\)có 3 nghiệm phân biệt \(x \in \left( {0\;;\;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\)
ĐS: \(\dfrac{1}{3} < m < 1\)
TỔ HỢP - XÁC SUẤT
Bài 1. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được
a) Bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số;
Có: \(5.6.6.6 = 1080\) số
b) Bao nhiêu số lẻ với bốn chữ số khác nhau;
Có 144 số
c) Bao nhiêu số chẵn với bốn chữ số khác nhau;
Có 156 số
d) Bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3
Có 96 số
Bài 2. Một người có 7 cái áo màu hồng, 3 cái áo màu đỏ và 11 cái áo màu xanh. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn hai cái áo màu khác nhau ? (131 cách)
Bài 3. An và Bình cùng 7 bạn khác rủ nhau đi xem bóng đá. 9 bạn được xếp vào 9 ghế thành một hàng ngang. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 9 bạn sao cho An và Bình không ngồi cạnh nhau?( 282240 cách)
Bài 4. Có 10 khách được xếp vào một bàn tròn có 10 chỗ. Tính số cách xếp ( hai cách xếp được coi là như nhau nếu cách này nhận được từ cách kia bằng cách xoay bàn đi một góc nào đó) (9! cách)
Bài 5. Trong mặt phẳng cho 5 đường thẳng song song \({a_1},{a_2},{a_3},{a_4},{a_5}\) và 7 đường thẳng song song \({b_1},{b_2},{b_3},{b_4},{b_5},{b_6},{b_7}\)đồng thời cắt 5 đường thẳng trên. Tính số hình bình hành tạo nên bởi 12 đường thẳng đã cho(\(C_5^2.C_7^2\) hình)
Bài 6. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn \(A_n^2 - C_{n + 1}^{n - 1} = 5\). (ĐS:n=5)
Bài 7. Tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Niu - tơn của biểu thức\({\left( {2\alpha x + \dfrac{1}{{2\alpha {x^2}}}} \right)^6},\alpha > 0\) bằng 64. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển.
ĐS: \(C_6^4\)
Bài 8. Tìm hệ số của \({x^6}\) trong khai triển \({\left( {\dfrac{1}{x} + {x^3}} \right)^n}\) biết tổng các hệ số trong khai triển bằng 1024 (ĐS: 210).
Bài 9. Tính \(S = 32{x^5} - 80{x^4} + 80{x^3} - 40{x^2} +\)\( 10x - 1\)
ĐS: \(S = {(2x - 1)^5}\).
Bài 10. Cho n là số nguyên dương. Tính tổng sau theo n:
\(S = C_n^0 + \dfrac{{{2^2} - 1}}{2}C_n^1 + \dfrac{{{2^3} - 1}}{3}C_n^2 + ... \)\(+ \dfrac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}C_n^n\)
ĐS: \(\dfrac{{{3^{n + 1}} - {2^{n + 1}}}}{{n + 1}}\)
Bài 11. Một hộp chứa 15 quả cầu xanh và 5 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ hộp trên. Tính xác suất để chọn được 2 quả cầu khác màu. (ĐS: 15/38)
Bài 12. Ba bạn A, B, C, mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1;19]. Tính xác suất để 3 số được viết ra có tổng chia hết cho 3. (ĐS: 2287/6859)
Bài 13. Một đa giác đều 12 đỉnh \({A_1},{A_2},...,{A_{12}}\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác đó, tính xác suất để 4 đỉnh được chọn ra tạo thành một hình chữ nhật. (ĐS:1/33)
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\) , ta có:
a)\({1^2} + {2^2} + ... + {n^2}=\dfrac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\).
b) \({n^3} + 3{n^2} + 5n\) chia hết cho 3.
Bài 2. Tìm số hạng đầu, công sai, số hạng thứ 15 và tổng của 15 số hạng đầu của cấp số cộng vô hạn (un), biết:
a) \(\left\{ \begin{array}{c}{u_1} + {u_5} - {u_3} = 10\\{u_1} + {u_6} = 17\end{array} \right.\)
ĐS: \({u_1} = \dfrac{8}{3};d = \dfrac{7}{3};{u_{15}} = \dfrac{{106}}{3};{S_{15}} = 285\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_7} + {u_{15}} = 60\\u_4^2 + u_{12}^2 = 1170\end{array} \right.\)
ĐS:
TH1: \(d = \dfrac{{21}}{5};{u_1} = - 12;\)\({u_{15}} = \dfrac{{234}}{5};{S_{15}} = 261\)
TH2: \(d = 3;{u_1} = 0;{u_{15}} = 42;{S_{15}} = 315\)
Bài 3. Tìm x để 3 số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng, với:
a) \(a = 10 - 3x;\,\,b = 2{x^2} + 3;\,\,c = 7 - 4x\)
b) \(a = x + 1;\,\,b = 3x - 2;\,\,c = {x^2} - 1\)
ĐS:
a) \(x = 1\) hoặc \(x = - \dfrac{{11}}{4}\)
b) \(x = 1\) hoặc \(x = 4\)
Bài 4. Tìm \({u_1}\) và công bội q của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) biết:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} - {u_2} = 72\\{u_5} - {u_3} = 144\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_3} + {u_5} = 65\\{u_1} + {u_7} = 325\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_3} + {u_5} = - 21\\{u_2} + {u_4} = 10\end{array} \right.\)
ĐS:
a) \({u_1} = 12;q = 2\)
b) \(q = 2;{u_1} = 5\) hoặc \(q = - 2;{u_1} = 5\)
c) \(q = - 2;{u_1} = - 1\) hoặc \(q = - \dfrac{1}{2};{u_1} = - 16\)
Bài 5. Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng bằng 14 và tổng bình phương của chúng bằng 84.
ĐS: \(\left( {a,b,c} \right) \in \left\{ {\left( {2,4,8} \right),\left( {8,4,2} \right)} \right\}\)
Bài 6. Cho 3 số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng:
a)\(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right) = {\left( {ab + bc} \right)^2}\);
b)\({\left( {bc + ac + cb} \right)^3} = abc{\left( {a + b + c} \right)^3}\)
Bài 7. Cho 3 số a, b, c có tổng bằng 26 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Lần lượt cộng thêm 1; 6; 3 đơn vị lần lượt vào a, b, c ta được 3 số mới lập thành một cấp số cộng. Tìm 3 số đó.
ĐS: \(a = 18,b = 6,c = 2\) hoặc\(a = 2,b = 6,c = 18\).
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm \(A\left( {6; - 5} \right),B\left( { - 2;7} \right)\), đường thẳng \(d: - 2{\rm{x}} + y + 1 = 0\), đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\). Tìm ảnh của điểm A, B, d và (C) qua các phép biến hình sau:
a) Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \left( {2; - 1} \right)\)
b) Phép đối xứng trục Ox, trục \(d:2{\rm{x}} - y = 0\)
c) Phép đối xứng tâm O
d) Phép đối xứng tâm \(I\left( {2;3} \right)\)
e) Phép quay tâm O góc quay \(90^\circ \)
f) Phép quay tâm O góc quay \( - 90^\circ \)
g) Phép vị tự tâm O, tỉ số \( - 3\)
h) Phép vị tự tâm \(I\left( { - 3;1} \right)\) tỉ số \(\dfrac{1}{2}\).
i) Phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm và phép đối xứng trục Oy.
j) Phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục Ox và phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow u \left( { - 2;1} \right)\)
k) Phép đồng dạng bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm \(I\left( { - 1;0} \right)\) tỉ số 2 và phép quay tâm O góc quay \(90^\circ \)
Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD, gọi I là giao của AC và BD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh rằng hai hình thang AEIB và CFID bằng nhau.
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG.
Bài 1. Cho hình chóp \(S.ABC\) có \({G_1},{G_2}\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(SBC,ABC\). Chứng minh \({G_1}{G_2}//\left( {SAC} \right)\).
Bài 2. Cho hình chóp \(S.ABC{\rm{D}}\) có đáy \(ABC{\rm{D}}\) là tứ giác lồi có các cạnh đối khônng song song với nhau.
a) Xác định giao tuyến của \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).
b) Xác định giao tuyến của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
c) Xác định giao tuyến của \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).
Bài 3. Cho hình chóp \(S.ABC{\rm{D}}\) có đáy \(ABC{\rm{D}}\) là hình bình hành, M, N lần lượt là trung điểm của AB và SC.
a) Xác định \(I = AN \cap \left( {SBD} \right)\)
b) Xác định \(J = MN \cap \left( {SBD} \right)\)
c) Chứng minh I, J, B thẳng hàng.
Bài 4. Cho hình chóp \(S.ABC{\rm{D}}\) có đáy \(ABC{\rm{D}}\) là hình bình hành. Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD.
a) Chứng minh \(A'B'C'D'\) là hình bình hành.
b) Gọi M là điểm bất kì trên BC. Tìm giao tuyến của \(\left( {A'B'M} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\).
c) Gọi O là tâm của đáy \(ABC{\rm{D}}\). Chứng minh \(OA'\) song song với \(\left( {SBC} \right),\left( {SCD} \right)\).
Bài 5. Cho hình chóp \(S.ABC{\rm{D}}\), M là điểm tùy ý trong tam giác SCD. Biết AB không song song với CD.
1. Xác định:
a) \(\left( {SMB} \right) \cap \left( {SAC} \right)\)
b) \(MB \cap \left( {SAC} \right)\)
2. Tìm thiết diện của mặt phẳng \((MAB)\) với hình chóp \(S.ABC{\rm{D}}\).
3. Chứng minh \(AB,C{\rm{D}},\Delta \) đồng qui với \(\Delta \) là giao tuyến của \(\left( {MAB} \right)\) và \(\left( {SC{\rm{D}}} \right)\).
Bài 6. Cho hình hộp \(ABC{\rm{D}}.A'B'C'D'\)
a) Chứng minh \(\left( {BDA'} \right)//\left( {B'D'C} \right)\).
b) Chứng minh đường chéo AC’ đi qua trọng tâm \({G_1},{G_2}\) của hai tam giác \(B{\rm{D}}A'\) và \(B'D'C\) và \(A{G_1} = {G_1}{G_2} = {G_2}C'\).
c) M là trung điểm của BC, xác định thiết diện của hình hộp cắt bới mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua M và song song với \(\left( {A'B{\rm{D}}} \right)\).
d) Gọi E, F lần lượt là 2 điểm di động trên cạnh AB và A’D’ sao cho \(AE = kEB,FD' = kFA'\)(k là số dương). Chứng minh EF song song với một mặt phẳng cố định.
Xemloigiai.com
Xem thêm lời giải Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 11
Dưới đây là danh sách Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 11 chọn lọc, có đáp án, cực sát đề chính thức theo nội dung sách giáo khoa Lớp 11.
Đề thi giữa kì 1 Toán 11
- 👉 Đề ôn tập giữa học kì 1 – Có đáp án và lời giải
- 👉 Đề thi giữa học kì 1 của các trường có lời giải – Mới nhất
Đề thi học kì 1 Toán 11
- 👉 Đề cương học kì I
- 👉 Đề thi học kì 1 mới nhất có lời giải
- 👉 Đề ôn tập học kì 1 – Có đáp án và lời giải
- 👉 Đề thi học kì 1 của các trường có lời giải – Mới nhất
Đề thi giữa kì 2 Toán 11
- 👉 Đề ôn tập giữa kì 2- Có đáp án và lời giải chi tiết
- 👉 Đề thi giữa học kì 2 của các trường có lời giải – Mới nhất
Đề thi học kì 2 Toán 11
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11
- 👉 Đề kiểm tra 15 phút – Chương 1 – Đại số và Giải tích 11
- 👉 Đề kiểm tra 15 phút – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
- 👉 Đề kiểm tra 15 phút – Chương 3 – Đại số và giải tích 11
- 👉 Đề kiểm tra 15 phút - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
- 👉 Đề kiểm tra 15 phút - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
- 👉 Đề kiểm tra 15 phút - Chương 1 - Hình học 11
- 👉 Đề kiểm tra 15 phút - Chương 2 - Hình học 11
- 👉 Đề kiểm tra 15 phút - Chương 3 - Hình học 11
Đề kiểm tra 1 tiết Toán 11
- 👉 Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 1 – Đại số và giải tích 11
- 👉 Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
- 👉 Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Đại số và Giải tích 11
- 👉 Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
- 👉 Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết ) - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
- 👉 Đề kiểm tra 45 phút ( 1 tiết) - Chương 1 - Hình học 11
- 👉 Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 2 - Hình học 11
- 👉 Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Hình học 11
Lớp 11 | Các môn học Lớp 11 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 11 chọn lọc
Danh sách các môn học Lớp 11 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.
Toán Học
- Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 11
- SBT Toán lớp 11 Nâng cao
- SBT Toán 11 Nâng cao
- SGK Toán 11 Nâng cao
- SBT Toán lớp 11
- SGK Toán lớp 11
Vật Lý
- SBT Vật lí 11 Nâng cao
- SGK Vật lí lớp 11 Nâng cao
- SBT Vật lí lớp 11
- SGK Vật lí lớp 11
- Giải môn Vật lí lớp 11
Hóa Học
- Đề thi, đề kiểm tra Hóa lớp 11
- SBT Hóa học 11 Nâng cao
- SGK Hóa học lớp 11 Nâng cao
- SBT Hóa lớp 11
- SGK Hóa lớp 11
Ngữ Văn
Lịch Sử
Địa Lý
Sinh Học
- Đề thi, đề kiểm tra Sinh lớp 11
- SGK Sinh lớp 11 Nâng cao
- SBT Sinh lớp 11
- SGK Sinh lớp 11
- Giải môn Sinh học lớp 11
GDCD
Tin Học
Tiếng Anh
- Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Anh 11 mới
- SBT Tiếng Anh lớp 11
- SGK Tiếng Anh lớp 11
- SBT Tiếng Anh lớp 11 mới
- SGK Tiếng Anh lớp 11 Mới