Bài 2.27 trang 77 SBT hình học 11

Đề bài

Cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi \(M\) và \(N\) là hai điểm di động tương ứng trên \(AD\) và \(BE\) sao cho \(\dfrac{AM}{MD} = \dfrac{BN}{NE}\) 

Chứng minh rằng đường thẳng \(MN\) luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định. Hãy chỉ ra mặt phẳng cố định đó.

Lời giải chi tiết

Trong hình bình hành \(ABEF\), ta dựng \(NP\parallel AB\parallel EF\).

Mà \(EF\subset (DEF)\)

\(\Rightarrow NP\parallel (DEF) \text{   (1)}\)

Từ các dựng \(NP\parallel AB\parallel EF\) suy ra \(\dfrac{BN}{NE}=\dfrac{AP}{PF}\).

Mà \(\dfrac{BN}{NE}=\dfrac{AM}{MD}\) \(\Rightarrow\dfrac{AP}{PF}=\dfrac{AM}{MD}\)

Suy ra \(PM\parallel FD\) mà \(FD\subset (DEF)\)

\(\Rightarrow PM\parallel (DEF) \text{  (2)}\)

Ta lại có \(NP, MP\subset (MNP)\), từ \(\text{(1)}\) và \(\text{(2)}\) suy ra \((MNP)\parallel(DEF)\).

Ta có: \(MN\subset(MNP)\Rightarrow MN\parallel (DEF)\)

Vậy \(MN\) luôn song song với một mặt phẳng cố định \((DEF)\).

Xemloigiai.com