Bài 3 trang 97 SGK Đại số và Giải tích 11

Bài làm:

Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng \(u_1, n, d, u_n, S_n\).

LG a

Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

\(\begin{array}{l}
{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\
{S_n} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d
\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{u_n} = {u_1} + (n - 1).d\\
\Rightarrow n = \frac{{{u_n} - {u_1}}}{d} + 1;\;\;d = \frac{{{u_n} - {u_1}}}{{n - 1}}\\
{S_n} = n.{u_1} + \frac{{n(n - 1)}}{2}.d\;\; \Rightarrow {u_1} = \frac{{2.{S_n} - n(n - 1).d}}{{2n}}\\
{S_n} = \frac{{n({u_1} + {u_n})}}{2}\;\; \Rightarrow {u_1} = \frac{{2.{S_n} - n.{u_n}}}{n}
\end{array}\)

Dựa vào các công thức trên thấy cần phải biết ít nhất 3 đại lượng để tìm được các đại lượng còn lại.

LG b

Lập bảng theo mẫu sau và điền vào chỗ trống thích hợp:

Lời giải chi tiết:

Dòng đầu: Biết \({u_1} =  - 2;{u_{20}} = 55\). Tìm d và \({S_{20}}\).

Ta có \({u_{20}} = {u_1} + 19d\)

\(\Leftrightarrow 55 =  - 2 + 19d \Leftrightarrow d = 3\)

\({S_{20}} = \frac{{20\left( {{u_1} + {u_{20}}} \right)}}{2} \) \(= \frac{{20.\left( { - 2 + 55} \right)}}{2} = 530\)

Dòng 2: Biết \(d =  - 4;\,\,{S_{15}} = 120\), tìm \({u_1}\) và \({u_{15}}\).

Ta có \({S_{15}} = 15{u_1} + \frac{{15.\left( {15 - 1} \right)}}{2}.d \)

\(\Leftrightarrow 120 = 15.{u_1} + 105.\left( { - 4} \right) \)

\(\Leftrightarrow 15{u_1} = 540 \Leftrightarrow {u_1} = 36\)

\( \Rightarrow {u_{15}} = {u_1} + 14d = 36 + 14.\left( { - 4} \right) =  - 20\)

Dòng 3: Biết \({u_1} = 3;\,\,d = {4 \over {27}};\,\,{u_n} = 7\). Tìm n và tính \({S_n}\).

Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \)

\(\Leftrightarrow 7 = 3 + \left( {n - 1} \right).{4 \over {27}} \Leftrightarrow n = 28\)

\({S_{28}} = 28{u_1} + \frac{{28.\left( {28 - 1} \right)}}{2}.d \)

\(= 28.3 + 378.\frac{4}{{27}} = 140\)

Dòng 4: Biết \({u_{12}} = 17\) và \({S_{12}} = 72\). Tìm \({u_1}\) và \(d\).

\(\begin{array}{l}
{S_{12}} = \frac{{12\left( {{u_1} + {u_{12}}} \right)}}{2}\\
\Leftrightarrow 72 = \frac{{12\left( {{u_1} + 17} \right)}}{2}\\
\Leftrightarrow {u_1} + 17 = 12\\
\Leftrightarrow {u_1} = - 5\\
{u_{12}} = {u_1} + 11d\\
\Leftrightarrow 17 = - 5 + 11d\\
\Leftrightarrow 22 = 11d \Leftrightarrow d = 2
\end{array}\)

Dòng 5: Biết \({u_1} = 2;d =  - 5\) và \({S_n} =  - 205\). Tìm n và tính \({u_n}\).

Ta có

\(\begin{array}{l}
{S_n} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d\\
\Leftrightarrow - 205 = n.2 + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}.\left( { - 5} \right)\\
\Leftrightarrow - 410 = 4n - 5n\left( {n - 1} \right)\\
\Leftrightarrow 5{n^2} - 9n - 410 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
n = 10\\
n = - \frac{{41}}{5}\left( {loai} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow n = 10\\
\Rightarrow {u_{10}} = {u_1} + 9d\\
= 2 + 9.\left( { - 5} \right) = - 43
\end{array}\)

Vậy ta điền được bảng như sau :

Xemloigiai.com