Phương pháp xác định thiết diện của hình chóp

Lý thuyết:

1. Thiết diện của một hình

Định nghĩa: Thiết diện (hay mặt cắt) của hình \(H\) khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\) là phần chung của \(mp\left( P \right)\) và hình \(H\).

Ví dụ:

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cắt các mặt phẳng \(\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right),\left( {SCD} \right),\left( {SDA} \right)\) lần lượt theo các giao tuyến \(FG,GH,HE,EF\).

Khi đó, thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) khi cắt bởi \(\left( \alpha  \right)\) chính là tứ giác \(FGHE\).

2. Phương pháp xác định thiết diện của hình chóp

Cho hình chóp \(S.{A_1}{A_2}...{A_n}\), cắt hình chóp bởi một mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\). Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bở mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm giao điểm của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) với các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp.

- Bước 2: Nối các giao điểm tìm được ở trên thành đa giác.

- Bước 3: Kết luận: Đa giác tìm được ở trên chính là thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Ví dụ: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là tứ giác lồi và một điểm \(M\) nằm trên cạnh \(SB\). Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng \(\left( {ADM} \right)\) với hình chóp.

Giải:

Trước hết ta sẽ tìm điểm $N$ là giao điểm của $(ADM)$ với $SC$.

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \subset \left( {SBD} \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), gọi \(G = SO \cap DM \Rightarrow G \in SO \subset \left( {SAC} \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(N = AG \cap SC\).

Ta có:

+ $(ADM)$ cắt $(SAB)$ theo giao tuyến $AM$.

+ $(ADM)$ cắt $(SAD)$ theo giao tuyến $AD$.

+ $(ADM)$ cắt $(SCD)$ theo giao tuyến $DN$.

+ $(ADM)$ cắt $(SBC)$ theo giao tuyến $MN$.

Thiết diện cần tìm là tứ giác \(ADNM\).