Giải đề thi học kì 1 toán lớp 11 năm 2019 - 2020 sở giáo dục Vĩnh Phúc
Bài làm:
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM: (3,0 điểm).
Câu 1. Tập xác định của hàm số \(y = \dfrac{1}{{\cos x}}\) là:
A. \(D = R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}.\)
B. \(D = R.\)
C. \(D = R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}.\)
D. \(D = \left[ { - 1;1} \right].\)
Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho điểm \(M\left( {1;0} \right).\) Phép quay tâm \(O\) góc quay \(90^\circ \) biến điểm \(M\) thành điểm \(M'\) có tọa độ là
A.\(\left( { - 1;0} \right).\) B.\(\left( {0;1} \right).\)
C. \(\left( {1;1} \right).\) D. \(\left( {0; - 1} \right).\)
Câu 3. Chu kỳ tuần hoàn của hàm số \(y = \cot x\) là
A.\(\pi .\) B.\(3\pi .\)
C. \(2\pi .\) D. \(\dfrac{\pi }{2}.\)
Câu 4. Cho các số tự nhiên \(n,k\) thỏa mãn \(0 \le k < n.\) Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng ?
A. \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!}}.\)
B. \({P_n} = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}.\)
C.\(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}.\)
D. \(C_{n + 1}^k = C_{n + 1}^{n - k}.\)
Câu 5. Tập nghiệm của phưng trình \(2\sin 2x + 1 = 0\) là
A.\(S = \left\{ { - \dfrac{\pi }{6} + k\pi ,\dfrac{{7\pi }}{{12}} + k\pi ,k \in Z} \right\}.\)
B.\(S = \left\{ { - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi ,\dfrac{{7\pi }}{{12}} + k\pi ,k \in Z} \right\}.\)
C. \(S = \left\{ { - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ,\dfrac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi ,k \in Z} \right\}.\)
D. \(S = \left\{ { - \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi ,\dfrac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi ,k \in Z} \right\}.\)
Câu 6. Có \(10\) chiếc bút khác nhau và \(8\) quyển sách giáo khoa khác nhau. Một bạn học sinh cần chọn \(1\) chiếc bút và \(1\) quyển sách. Hỏi bạn học sinh đó có bao nhiêu cách chọn ?
A.\(70.\) B.\(60.\)
C. \(90.\) D. \(80.\)
Câu 7. Từ các chữ số \(1,5,6,7\) lập được bao nhiêu số tự nhiên có \(4\) chữ số với các chữ số đôi một khác nhau ?
A.\(24.\) B.\(64.\)
C. \(256.\) D. \(12.\)
Câu 8. Gieo một con súc sắc ba lần liên tiếp. Xác suất để mặt hai chấm xuất hiện cả ba lần là
A.\(\dfrac{1}{{18}}.\) B.\(\dfrac{1}{{20}}.\)
C.\(\dfrac{1}{{216}}.\) D. \(\dfrac{1}{{172}}.\)
Câu 9. Phép tịnh tiến theo vec tơ \(\overrightarrow v \) biến điểm \(A\) thành điểm \(A'\) và biến điểm \(M\) thành điểm \(M'.\) Khi đó
A.\(\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {A'M'} .\)
B.\(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {A'M'} .\)
C. \(3\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {A'M'} .\)
D. \(\overrightarrow {AM} = - \overrightarrow {A'M'} .\)
Câu 10. Xét hàm số \(y = \sin x\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;0} \right].\) Câu khẳng định nào sau đây là đúng ?
A.Trên mỗi khoảng \(\left( { - \pi ; - \dfrac{\pi }{2}} \right);\,\left( { - \dfrac{\pi }{2};0} \right)\) hàm số đồng biến.
B.Trên khoảng \(\left( { - \pi ; - \dfrac{\pi }{2}} \right)\) hàm số đồng biến và trên khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};0} \right)\) hàm số nghịch biến.
C. Trên khoảng \(\left( { - \pi ; - \dfrac{\pi }{2}} \right)\) hàm số nghịch biến và trên khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};0} \right)\) hàm số đồng biến.
D. Trên mỗi khoảng \(\left( { - \pi ; - \dfrac{\pi }{2}} \right);\,\left( { - \dfrac{\pi }{2};0} \right)\) hàm số nghịch biến.
Câu 11. Cho hình chóp\(S.ABCD,\) hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại điểm \(M,\) hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại điểm\(N.\) Giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) là đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây ?
A.\(SN.\) B.\(SA.\)
C. \(MN.\) D. \(SM.\)
Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(x + y - 2 = 0.\) Phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k = - 2\) biến đường thẳng \(d\) thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau ?
A.\(2x + 2y = 0.\)
B.\(2x + 2y - 4 = 0.\)
C.\(x + y + 4 = 0.\)
D. \(x + y - 4 = 0\)
II. TỰ LUẬN (7đ).
Câu 13 (2,0 điểm). Giải các phương trình sau :
a) \(\cos 2x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
b) \(\sin x + \sqrt 3 \cos x = 1.\)
Câu 14 (1,0 điểm). Tính hệ số của \({x^8}\) trong khai triển \(P\left( x \right) = {\left( {3x - \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^{24}}.\)
Câu 15 (1,0 điểm). Một hộp đựng \(7\) viên bi màu trắng và\(3\) viên bi màu đen. Lấy ngẫu nhiên đồng thời \(3\) viên bi trong hộp đó. Tính xác suất để trong \(3\) viên bi được lấy ra có nhiều nhất một viên bi màu trắng.
Câu 16 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho hai điểm \(M\left( {4;6} \right)\) và \(M'\left( { - 3;5} \right).\) Phép vị tự tâm \(I\) tỉ số \(k = \dfrac{1}{2}\) biến điểm \(M\) thành điểm \(M'.\) Tìm tọa độ điểm \(I.\)
Câu 17 (1,5 điểm). Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(2a.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AC\) và \(BC;\) \(P\) là trọng tâm của tam giác \(BCD.\)
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABP} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {ACD} \right).\)
b) Tính diện tích thiết diện của tứ diện \(ABCD\) cắt bởi mặt phẳng \(\left( {MNP} \right).\)
Câu 18: (0,5 điểm). Tìm \(m\) để phương trình \(2\sin x + m\cos x = 1 - m\) có nghiệm \(x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right].\)
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Thực hiện: Ban chuyên môn xemloigiai.com
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM
1.A |
2.B |
3.A |
4.C |
5.B |
6.D |
7.A |
8.C |
9.B |
10.C |
11.A |
12.C |
Câu 1 (TH)
Phương pháp:
Phân thức \(\dfrac{{A\left( x \right)}}{{B\left( x \right)}}\) xác định khi \(B\left( x \right) \ne 0\)
Cách giải:
ĐK: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \)
TXD: \(D = R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z} \right\}\)
Chọn A
Câu 2 (TH)
Phương pháp:
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép quay tâm \(O\) góc quay \(\alpha \) biến \(M\left( {x;y} \right)\) thành \(M'\left( {x';y'} \right)\) là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x' = x\cos \alpha - y\sin \alpha \\y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha \end{array} \right.\)
Cách giải:
Ta có tọa độ của điểm \(M'\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 1.\cos {90^0} - 0.\sin {90^0} = 0\\y' = 1.\sin {90^0} + 0.\cos {90^0} = 1\end{array} \right.\)
nên \(M'\left( {0;1} \right)\)
Chọn B
Câu 3 (NB)
Phương pháp:
Sử dụng kiến thức về chu kì tuần hoàn
Cách giải:
Chu kì tuần hoàn của hàm số \(y = \cot x\) là \(T = \pi \)
Chọn A
Câu 4 (NB)
Phương pháp:
Sử dụng kiến thức về tổ hợp, chỉnh hợp
Cách giải:
Ta có \(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}\) nên C đúng.
Chọn C
Câu 5 (TH)
Phương pháp:
Đưa về giải phương trình cơ bản \(\sin f\left( x \right) = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = \alpha + k2\pi \\f\left( x \right) = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\)
Cách giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}2\sin 2x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \sin 2x = - \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \\2x = \pi - \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.,\,k \in Z\end{array}\)
Chọn B
Câu 6 (TH)
Phương pháp:
Sử dụng kiến thức về tổ hợp
Cách giải:
Số cách chọn 1 chiếc bút là \(C_{10}^1 = 10\) cách
Số cách chọn 1 quyển sách là \(C_8^1 = 8\) cách
Vậy bạn đó có \(10.8 = 80\) cách chọn 1 chiếc bút và 1 quyển sách
Chọn D
Câu 7 (TH)
Phương pháp:
Sử dụng kiến thức về chỉnh hợp
Cách giải:
Số các số thỏa mãn đề bài là \(A_4^4 = 24\) số
Chọn A
Câu 8 (TH)
Phương pháp:
Sử dụng \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\) với \(n\left( A \right)\) là số phần tử của biến cố A và \(n\left( \Omega \right)\) là số phần tử của không gian mẫu
Cách giải:
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = {6^3} = 216\)
Gọi \(A\) là biến cố “mặt hai chấm xuất hiện cả ba lần”
Suy ra \(n\left( A \right) = 1.1.1 = 1\)
Xác suất cần tìm là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{1}{{216}}\)
Chọn C
Câu 9 (TH)
Phương pháp:
Sử dụng: Phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow v \) biến \(M\) thành \(M'\) thì \(\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow v \)
Cách giải:
Từ giả thiết ta có: \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MM'} = \overrightarrow v \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow v \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MM'} + \overrightarrow {M'A'} = \overrightarrow v \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {M'A'} + \overrightarrow v = \overrightarrow v \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {M'A'} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {A'M'} \end{array}\)
Chọn B
Câu 10 (TH)
Phương pháp:
Sử dụng kiến thức về hàm số \(y = \sin x\)
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\dfrac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\)
Cách giải:
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\dfrac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\)
Nên trên đoạn \(\left[ { - \pi ;0} \right]\) thì hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \pi ;\dfrac{{ - \pi }}{2}} \right)\) và đồng biến trên \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};0} \right)\)
Chọn C
Câu 11 (TH)
Phương pháp:
Nếu đường thẳng \(d\) đồng thời nằm trong cả hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) thì \(d\) là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\)
Cách giải:
Ta có \(N \in AB,\,N \in CD\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( {SAB} \right)\\N \in \left( {SCD} \right)\end{array} \right.\)
Suy ra giao tuyến của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là \(SN.\)
Chọn A
Câu 12 (VD)
Phương pháp:
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k\) biến \(M\) thành \(M'\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x' = kx\\y' = ky\end{array} \right.\)
Cách giải:
Gọi \(M\left( {x;y} \right) \in d:x + y - 2 = 0\)
\({V_{\left( {O; - 2} \right)}}\left( M \right) = M'\left( {x';y'} \right) \in d'\) là ảnh của \(d\) qua \({V_{\left( {O; - 2} \right)}}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = - 2x\\y' = - 2y\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{{x'}}{2}\\y = \dfrac{{ - y'}}{2}\end{array} \right. \\\Rightarrow M\left( {\dfrac{{ - x'}}{2};\dfrac{{ - y'}}{2}} \right)\)
Thay tọa độ \(M\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{ - x'}}{2} + \dfrac{{ - y'}}{2} - 2 = 0\\ \Leftrightarrow x' + y' + 4 = 0\end{array}\)
Phương trình đường thẳng \(d':x + y + 4 = 0\)
Chọn C
PHẦN II: TỰ LUẬN
Câu 13 (VD)
Phương pháp:
a) Giải phương trình \(\cos f\left( x \right) = \cos \alpha \Leftrightarrow f\left( x \right) = \pm \alpha + k2\pi \)
b) Chia cả hai vế cho \(2\) rồi sử dụng công thức \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\)
Đưa về \(\sin f\left( x \right) = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = \alpha + k2\pi \\f\left( x \right) = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\)
Cách giải:
a) Ta có : \(\cos 2x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \dfrac{\pi }{6} \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \) và \(x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi ,k \in Z.\)
b) Ta có \(\sin x + \sqrt 3 \cos x = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \dfrac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{6}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{3} = \pi - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \) và \(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z.\)
Câu 14 (VD)
Phương pháp:
Sử dụng: \({\left( {a - b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 1}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \)
Cách giải:
Ta có : \(P\left( x \right) = {\left( {3x - \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^{24}} = \sum\limits_{k = 0}^{24} {C_{24}^k{{\left( {3x} \right)}^{24 - k}}.{{\left( { - \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)}^k}} \)
\( = \sum\limits_{k = 0}^{24} {{{\left( { - 1} \right)}^k}.C_{24}^k{{.3}^{24 - k}}.{x^{24 - 4k}}} \)
Hệ số của \({x^8}\) là \({\left( { - 1} \right)^k}.C_{24}^k{3^{24 - k}},\) ứng với \(24 - 4k = 8 \Leftrightarrow k = 4\,\left( {tm} \right)\)
Vậy hệ số của \({x^8}\) trong khai triểu \(P\left( x \right) = {\left( {3x - \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^{24}}\) là :
\({\left( { - 1} \right)^4}.C_{24}^4{3^{24 - 4}} = {3^{20}}.C_{24}^4\)
Câu 15 (VD)
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính xác suất \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\)
Với \(n\left( A \right)\) là số phần tử của biến cố A và \(n\left( \Omega \right)\) là số phần tử của không gian mẫu
Cách giải:
Số phần tử của không gian mẫu : \(n\left( \Omega \right) = C_{10}^3 = 120.\)
Gọi \(A\) là biến cố lấy được \(3\) viên bi, trong đó có nhiều nhất \(1\) viên bi trắng.
Ta có các trường hợp :
TH1: Ba viên bi được chọn đều màu đen (không có bi trắng)
Số cách chọn là : \(C_3^3.\)
TH2: Ba viên bi được chọn có \(2\) viên bi màu đen, \(1\) viên bi màu trắng.
Số cách chọn là : \(C_3^2C_7^1\)
Như vậy: Số phần tử của biến cố \(A\) là: \(n\left( A \right) = C_3^3 + C_3^2C_7^1 = 22.\)
Vậy xác suất cần tìm là : \(P\left( A \right) = \dfrac{{22}}{{120}} = \dfrac{{11}}{{60}}.\)
Câu 16 (VD):
Phương pháp:
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm \(I\left( {a;b} \right)\) tỉ số \(k\) biến \(M\) thành \(M'\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x' = kx + \left( {1 - k} \right)a\\y' = ky + \left( {1 - k} \right)b\end{array} \right.\)
Hoặc sử dụng \(\overrightarrow {IM'} = k\overrightarrow {IM} \)
Cách giải:
Đặt tọa độ tâm \(I\) là \(I\left( {x;y} \right).\) Khi đó \(\overrightarrow {IM} = \left( {4 - x;6 - y} \right);\,\\\overrightarrow {IM'} = \left( { - 3 - x;5 - y} \right)\)
Theo định nghĩa của phép vị tự tâm \(I,\) ta có : \(\overrightarrow {IM'} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {IM} \left( * \right)\)
\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 - x = \dfrac{1}{2}\left( {4 - x} \right)\\5 - y = \dfrac{1}{2}\left( {6 - y} \right)\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 10\\y = 4\end{array} \right.\)
Vậy \(I\left( { - 10;4} \right).\)
Câu 17 (VD)
Phương pháp:
a) Gọi \(Q = BP \cap CD.\) Từ đó suy ra giao tuyến
b) Xác định thiết diện rồi tính diện tích tam giác theo công thức \(S = \dfrac{1}{2}ah\) với \(a\) là cạnh đáy và \(h\) là chiều cao tương ứng.
Cách giải:
Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh bằng \(2a.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AC\) và \(BC\); \(P\) là trọng tâm của tam giác \(BCD.\)
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABP} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {ACD} \right).\)
Trong mặt phẳng \(\left( {BCD} \right),\) gọi \(Q = BP \cap CD.\)
Khi đó \(\left( {ABP} \right) \cap \left( {ACD} \right) = AQ.\)
b) Tính diện tích thiết diện của tứ diện \(ABCD\) cắt bởi mặt phẳng \(\left( {MNP} \right).\)
Ta có : \(N,P,D\) thẳng hàng suy ra \(\left( {MNP} \right) \equiv \left( {MDN} \right)\)
Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {MND} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN\\\left( {MND} \right) \cap \left( {ABD} \right) = MD\\\left( {MND} \right) \cap \left( {DBC} \right) = DN\end{array} \right.\)
Vậy thiết diện là tam giác \(MND.\)
Xét ta giác \(MND,\) ta có \(MN = \dfrac{{AB}}{2} = a;\) \(DM = DN = \dfrac{{AD\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \)
Tam giác \(MND\) cân tại \(D.\)
Gọi \(H\) là trung điểm \(MN\) suy ra \(DH \bot MN.\)
Diện tích tam giác \({S_{\Delta MND}} = \dfrac{1}{2}MN.DH \\= \dfrac{1}{2}MN.\sqrt {D{M^2} - M{H^2}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}.\)
Câu 18 (VDC):
Phương pháp:
Đặt \(t = \tan \dfrac{x}{2},\) khi đó \(\sin x = \dfrac{{2t}}{{1 + {t^2}}};\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)
Biện luận phương trình theo ẩn \(t.\)
Cách giải:
Đặt \(t = \tan \dfrac{x}{2},\) khi \(x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) thì \(t \in \left[ { - 1;1} \right].\)
Phương trình trở thành \(2\dfrac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + m\dfrac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = 1 - m\) \( \Leftrightarrow 4t + m - m{t^2} = 1 - m + \left( {1 - m} \right){t^2}\)
\( \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 1 = 2m\left( 2 \right)\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \(x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) khi \(\left( 2 \right)\) có nghiệm \(t \in \left[ { - 1;1} \right].\)
Xét hàm số \(y = {t^2} - 4t + 1\) trên \(\left[ { - 1;1} \right].\) Ta có bảng biến thiên
Từ BBT ta có : \( - 2 \le 2m \le 6 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 3.\)
Vậy \( - 1 \le m \le 3.\)
Xemloigiai.com
Xem thêm Bài tập & Lời giải
Trong bài: Đề thi học kì 1 của các trường có lời giải – Mới nhất
Bài tập & Lời giải:
- 👉 Giải đề thi học kì 1 môn Toán lớp 11 trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong năm 2020-2021 có đáp án và lời giải chi tiết
- 👉 Giải đề thi học kì 1 toán lớp 11 năm 2020-2021 Sở GD-ĐT tỉnh Kon Tum
- 👉 Giải đề thi học kì 1 toán lớp 11 năm 2019 - 2020 trường THPT Nguyễn Tất Thành
- 👉 Giải đề thi học kì 1 toán lớp 11 năm 2019 - 2020 trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa
- 👉 Giải đề thi học kì 1 toán lớp 11 năm 2019 - 2020 trường THPT Trần Phú
- 👉 Đề thi học kì 1 môn toán lớp 11 năm 2019 - 2020 sở GDĐT Bắc Ninh
- 👉 Đề thi kì 1 môn toán lớp 11 năm 2019 - 2020 trường THPT Trần Hưng Đạo Thanh Xuân
- 👉 Đề thi kì 1 môn toán lớp 11 năm 2019 - 2020 trường THPT Kim Liên
Xem thêm lời giải Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 11
Dưới đây là danh sách Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 11 chọn lọc, có đáp án, cực sát đề chính thức theo nội dung sách giáo khoa Lớp 11.
Đề thi giữa kì 1 Toán 11
- 👉 Đề ôn tập giữa học kì 1 – Có đáp án và lời giải
- 👉 Đề thi giữa học kì 1 của các trường có lời giải – Mới nhất
Đề thi học kì 1 Toán 11
- 👉 Đề cương học kì I
- 👉 Đề thi học kì 1 mới nhất có lời giải
- 👉 Đề ôn tập học kì 1 – Có đáp án và lời giải
- 👉 Đề thi học kì 1 của các trường có lời giải – Mới nhất
Đề thi giữa kì 2 Toán 11
- 👉 Đề ôn tập giữa kì 2- Có đáp án và lời giải chi tiết
- 👉 Đề thi giữa học kì 2 của các trường có lời giải – Mới nhất
Đề thi học kì 2 Toán 11
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11
- 👉 Đề kiểm tra 15 phút – Chương 1 – Đại số và Giải tích 11
- 👉 Đề kiểm tra 15 phút – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
- 👉 Đề kiểm tra 15 phút – Chương 3 – Đại số và giải tích 11
- 👉 Đề kiểm tra 15 phút - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
- 👉 Đề kiểm tra 15 phút - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
- 👉 Đề kiểm tra 15 phút - Chương 1 - Hình học 11
- 👉 Đề kiểm tra 15 phút - Chương 2 - Hình học 11
- 👉 Đề kiểm tra 15 phút - Chương 3 - Hình học 11
Đề kiểm tra 1 tiết Toán 11
- 👉 Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 1 – Đại số và giải tích 11
- 👉 Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
- 👉 Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Đại số và Giải tích 11
- 👉 Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
- 👉 Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết ) - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
- 👉 Đề kiểm tra 45 phút ( 1 tiết) - Chương 1 - Hình học 11
- 👉 Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 2 - Hình học 11
- 👉 Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Hình học 11
Lớp 11 | Các môn học Lớp 11 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 11 chọn lọc
Danh sách các môn học Lớp 11 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.
Toán Học
- Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 11
- SBT Toán lớp 11 Nâng cao
- SBT Toán 11 Nâng cao
- SGK Toán 11 Nâng cao
- SBT Toán lớp 11
- SGK Toán lớp 11
Vật Lý
- SBT Vật lí 11 Nâng cao
- SGK Vật lí lớp 11 Nâng cao
- SBT Vật lí lớp 11
- SGK Vật lí lớp 11
- Giải môn Vật lí lớp 11
Hóa Học
- Đề thi, đề kiểm tra Hóa lớp 11
- SBT Hóa học 11 Nâng cao
- SGK Hóa học lớp 11 Nâng cao
- SBT Hóa lớp 11
- SGK Hóa lớp 11
Ngữ Văn
Lịch Sử
Địa Lý
Sinh Học
- Đề thi, đề kiểm tra Sinh lớp 11
- SGK Sinh lớp 11 Nâng cao
- SBT Sinh lớp 11
- SGK Sinh lớp 11
- Giải môn Sinh học lớp 11
GDCD
Tin Học
Tiếng Anh
- Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Anh 11 mới
- SBT Tiếng Anh lớp 11
- SGK Tiếng Anh lớp 11
- SBT Tiếng Anh lớp 11 mới
- SGK Tiếng Anh lớp 11 Mới