Bài 16 trang 226 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian Oxyz cho hai điểm

Bài làm:

Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(3 ; 3 ; 1), B(0 ; 2 ; 1) và mặt phẳng \(\left( P \right):x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}z - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

1. Viết phương trình đựờng thẳng AB.

2. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của AB trên mp(P).

3. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P) mà mọi điểm của d cách đều hai điểm A, B.

4. Viết phương trình đường vuông góc chung của ABd.

5. Tìm điểm K thuộc đường thẳng AB \(\left( {K \ne B} \right)\) sao cho

                            \(d\left( {K,\left( P \right)} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}d\left( {B,\left( P \right)} \right).\)

6. Tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.

Giải

1. Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(0;2;-4) và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = (1; - 1;2).\) thẳng d2 đi qua điểm M1(-8;6;10) và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = (2;1; - 1).\)

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 1;5;3),\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 8;4;14) \)

\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = 70 \ne 0\)

\( \Rightarrow {d_1},{d_2}\) chéo nhau.

2. Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng chứa d2 và song song với d1. Khi đó \(mp(\alpha )\) qua điểm \({M_2}( - 8;6;10)\) và có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 1;5;3)\)

\( \Rightarrow \left( \alpha  \right):x - 5y - 3z + 68 = 0.\)

3. \(d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = d({M_1},\left( \alpha  \right) \)

                      \(= {{\left| {0 - 10 + 12 + 68} \right|} \over {\sqrt {1 + 25 + 9} }} = {{70} \over {\sqrt {35} }} = 2\sqrt {35} .\)

4. Viết lại phương trình đường thẳng \({d_1},{d_2}\) dưới dạng tham số. Từ đó :

\(M \in {d_1}\) nên M=(t;2-t;-4+2t)

\(N \in {d_2}\) nên N=(-8+2t’;6+t’;10-t’)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = ( - 8 + 2t' - t;4 + t' + t;14 - t' - 2t).\)

Đường thẳng MN sẽ là đường thẳng d phải tìm khi \(MN\parallel Ox\) hay hai vec tơ \(\overrightarrow {MN} \)và \(\overrightarrow i (1;0;0)\) cùng phương, nghĩa là

\(\left\{ \matrix{  t' + t =  - 4 \hfill \cr  t' + 2t = 14 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  t = 18 \hfill \cr  t' =  - 22. \hfill \cr}  \right.\)

Vậy M=(18;-16;32) và đường thẳng d phải tìm có phương trình tham số :

\(d:\left\{ \matrix{  x = 18 + t \hfill \cr  y =  - 16 \hfill \cr  z = 32. \hfill \cr}  \right.\)

5.

\(\eqalign{  & A \in {d_1} \Rightarrow A = (t;2 - t; - 4 + 2t),  \cr  & B \in {d_2} \Rightarrow B = ( - 8 + 2t';6 + t';10 - t'),  \cr  &  \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = ( - 8 + 2t' - t;4 + t' + t;14 - t' - 2t).  \cr  & \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {{u_1}}  \Leftrightarrow 6t + t' = 16,  \cr  & \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {{u_2}}  \Leftrightarrow t + 6t' = 26. \cr} \)

Giải hệ \(\left\{ \matrix{  6t + t' = 16 \hfill \cr  t + 6t' = 26 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  t = 2 \hfill \cr  t' = 4 \hfill \cr}  \right. \)

\(\Rightarrow  A = (2;0;0) ; B = (0;10;6). \)

Suy ra mặt cầu đườn kính AB có tâm I=(1;5;3), bán kính bằng \(\sqrt {35} \). Phương trình của nó là :

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 35.\)

Xemloigiai.com

Xem thêm lời giải SBT Toán 12 Nâng cao

Lời giải chi tiết, đáp án bài tập SBT Giải tích, Hình học 12 Nâng cao. Tất cả lý thuyết, bài tập vận dụng, thực hành Toán 12 Nâng cao

PHẦN SBT GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO

PHẦN SBT HÌNH HỌC 12 NÂNG CAO

CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM, PHÂN TÍCH VÀ ỨNG DỤNG

CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC

CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

CHƯƠNG II: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN

CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Lớp 12 | Các môn học Lớp 12 | Giải bài tập, đề kiểm tra, đề thi Lớp 12 chọn lọc

Danh sách các môn học Lớp 12 được biên soạn theo sách giáo khoa mới của bộ giáo dục đào tạo. Kèm theo lời giải sách bài tập, sách giáo khoa, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và học kì 2 năm học 2024 ngắn gọn, chi tiết dễ hiểu.